Câu 76 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân với các cạnh đáy AB =2a, CD = a và hai cạnh bên BC = AD = a, SO vuông góc với mp(ABC) trong đó O là trung điểm của AB, SO = a.

a) Chứng minh rằng điểm cách đều các điểm S, A, B, C, D thuộc đường thẳng SO. Tính khoảng cách từ điểm đó đến mỗi đỉnh của hình chóp.

b) Tính góc giữa đường thẳng SO và mp(SCD).

Lời giải chi tiết

a) AO và DC song song và bằng nhau nên AD = OC mà AD = AO, từ đó OA = OC.

Tương tự, ta có OB = OD.

Do đó OA = OB = OC = OD.

Mặt khác SO vuông góc với mp(ABCD) nên mọi điểm trên SO cách đều các điểm A, B, C, D. Vì SA và SO cắt nhau nên xét đường trung trực của SA trong mp(SAB) thì nó cắt đường thẳng SO tại một điểm, đó là điểm cách đều năm đỉnh S, A, B, C, D. Vù SO = a, AO = a nên OS = OA.

Vậy O là điểm cách đều các điểm S, A, B, C, D. Do đó, khoảng cách từ điểm cách đều phải tìm đến các đỉnh bằng a.

b) Gọi M là trung điểm của CD thì \(OM \bot DC\) từ đó \(C{\rm{D}} \bot mp\left( {OMS} \right)\).

Vậy nếu kẻ OH vuông góc với SM thì \(DC \bot OH\) từ đó \(OH \bot mp\left( {SC{\rm{D}}} \right)\)

Như thế \(\widehat {H{\rm{S}}O}\) là góc giữa SO và mp(SCD).

Nhận thấy \(\widehat {H{\rm{S}}O} = \widehat {M{\rm{SO}}}\).

Cách 1. Xét tam giác SOM vuông tại O ta có:

\(tan\widehat {H{\rm{S}}O} = \tan \widehat {MOS} = {{OM} \over {OS}} = {{{{a\sqrt 3 } \over 2}} \over a} = {{\sqrt 3 } \over 2}\).

Cách 2.

Ta có:

\(\eqalign{  & {1 \over {O{H^2}}} = {1 \over {O{S^2}}} + {1 \over {O{M^2}}}  \cr  &  = {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{{\left( {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)}^2}}} = {1 \over {{a^2}}} + {4 \over {3{a^2}}} = {7 \over {3{a^2}}}. \cr} \)

Vậy \(OH = {{a\sqrt {21} } \over 7}\).

Do đó \(\sin \widehat {H{\rm{S}}O} = {{OH} \over {SO}} = {{{{a\sqrt {21} } \over 7}} \over a} = {{\sqrt {21} } \over 7}\).

Vậy góc giữa SO và mặt phẳng (SCD) là α mà \(\sin \alpha  = {{\sqrt {21} } \over 7}\left( {{0^0} < \alpha  < {{90}^0}} \right)\).