Câu hỏi 4 trang 36 SGK Giải tích 12

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2}+ 3.\)

Bằng đồ thị, biện luận theo \(m\) số nghiệm của phương trình \(- {x^4} + 2{x^2}+ 3=m.\)

Lời giải chi tiết

* Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2}+ 3.\)

1.TXĐ: \(D = \mathbb R\).

2. Sự biến thiên:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr} \)

\(y =  - 4{x^3}\; + {\rm{ }}4x.\) Cho \(y’ = 0 ⇒ x = 0\) hoặc \(x = ±1.\)

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên: \(\left( { - \infty , - 1} \right);\;\left( {0,1} \right).\)

Hàm số nghịch biến trên: \(\left( { - 1,0} \right){\rm{; }}\left( {1, + \infty } \right).\)

Hàm số đạt cực đại bằng 4 tại \(x = -1\) và \(x = 1.\)

Hàm số đạt cực tiểu bằng 3 tại \(x = 0.\)

Đồ thị

* Giải biện luận phương trình \(- {x^4} + 2{x^2}+ 3=m.\)

Số giao điểm của hai đồ thị \(y = - {x^4} + 2{x^2}+ 3\) và \(y = m\) là số nghiệm của phương trình trên.

Với \(m > 4\) Hai đồ thị không giao nhau nên phương trình vô nghiệm.

Với \(m = 4\) hoặc \(m < 3:\) Hai đồ thị giao nhau tại 2 điểm phân biệt nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Với \(m = 3\). Hai đồ thị giao nhau tại 3 điểm phân biệt nên phương trình có ba nghiệm phân biệt.

Với \(3 < m < 4:\) Hai đồ thị giao nhau tại 4 điểm phân biệt nên phương trình có bốn nghiệm phân biệt.