Bài 22 trang 8 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Với n là số tự nhiên, chứng minh đẳng thức: 

\(\sqrt {{{(n + 1)}^2}}  + \sqrt {{n^2}}  = {(n + 1)^2} - {n^2}\)

Viết đẳng thức trên khi n là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\sqrt {{{(n + 1)}^2}}  + \sqrt {{n^2}}  = \left| {n + 1} \right| + \left| n \right|\)

Do \(n \in \mathbb N \Rightarrow n + 1 > 0\)

Nên \(\left| {n + 1} \right| + \left| n \right| = n + 1 + n = 2n + 1\) (1)

Ta có:

\(\eqalign{
& {(n + 1)^2} - {n^2} \cr 
& = {n^2} + 2n + 1 - {n^2} \cr } \) 
  \(= 2n + 1 \) (2)

Từ (1) và (2) suy ra vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

Với \(n = 1\), ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {{{(1 + 1)}^2}} + \sqrt {{1^2}} = {(1 + 1)^2} - {1^2} \cr 
& \Leftrightarrow \sqrt 4 + \sqrt 1 = 4 - 1 \cr} \)

Với \(n = 2\), ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {{{(2 + 1)}^2}} + \sqrt {{2^2}} = {(2 + 1)^2} - {2^2} \cr 
& \Leftrightarrow \sqrt 9 + \sqrt 4 = 9 - 4 \cr} \) 

Với \(n = 3\), ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {{{(3 + 1)}^2}} + \sqrt {{3^2}} = {(3 + 1)^2} - {3^2} \cr 
& \Leftrightarrow \sqrt {16} + \sqrt 9 = 16 - 9 \cr} \)

Với \(n = 4\), ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {{{(4 + 1)}^2}} + \sqrt {{4^2}} = {(4 + 1)^2} - {4^2} \cr 
& \Leftrightarrow \sqrt {25} + \sqrt {16} = 25 - 16 \cr} \)

Với \(n = 5\), ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {{{\left( {5 + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{5^2}} = {\left( {5 + 1} \right)^2} - {5^2} \cr 
& \Leftrightarrow \sqrt {36} + \sqrt {25} = 36 - 25 \cr} \)

Với \(n = 6\), ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {{{\left( {6 + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{6^2}} = {\left( {6 + 1} \right)^2} - {6^2} \cr 
& \Leftrightarrow \sqrt {49} + \sqrt {36} = 49 - 36 \cr} \) 

Với \(n = 7\), ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {{{\left( {7 + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{7^2}} = {\left( {7 + 1} \right)^2} - {7^2} \cr 
& \Leftrightarrow \sqrt {64} + \sqrt {49} = 64 - 49 \cr} \)