Bài 27 trang 130 Vở bài tập toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi các tiếp điểm của đường tròn (I) với AB, AC theo thứ tự  là D, E.

a) Tứ giác ADIE là hình gì ? Vì sao ?

b) Tính bán kính của đường tròn (I), biết AB = 13cm, AC = 84cm. 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật có một cặp cạnh kề bằng nhau.

b) Dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau đề tìm các cặp cạnh bằng nhau; tìm \(AD\) rồi suy ra độ dài của \(DI.\)

Lời giải chi tiết

a) Tứ giác \(ADIE\) có \(\widehat A = {90^o}\) (theo giả thiết) 

\(\widehat D = {90^o}\) (vì \(AB\) là tiếp tuyến của \(\left( I \right)\))

\(\widehat E = {90^o}\) (vì \(AC\) là tiếp tuyến của \(\left( I \right)\))

Do đó \(ADIE\) là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật \(ADIE\) có \(DI = IE\) (bán kính) nên \(ADIE\) là hình vuông.

b) Trước tiên ta tính \(BC:\) Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(ABC\) ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \)\(= {13^2} + {84^2} \)\(= 169 + 7056 = 7225.\)

Suy ra \(BC = 85cm.\)

Kẻ \(IH \bot BC,\) ta có \(AB + AC - BC \)\(= \left( {AD + BD} \right) + \left( {AE + EC} \right) - \left( {BH + HC} \right).\)

Ta lại có

\(DB = BH,EC = HC,AE = AD\) nên \(AB + AC - BC = AD + AE = 2AD.\)

Do \(AB = 13cm\) nên \(AB + AC - BC = 2AD\)

Suy ra \(2AD = 13 + 84 - 85 = 12\left( {cm} \right).\)

Do đó \(AD = 6cm.\)

Tứ giác \(ADIE\) là hình vuông (câu a) nên \(ID = AD = 6cm.\)

Vậy bán kính của đường tròn \(\left( I \right)\) bằng \(6cm.\) 

Chú ý :

Trong phần b), ta chứng minh một hệ thức tương tự bài 26 để sử dụng.