Bài 4 trang 108 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đi qua ba điểm không thẳng hàng

Phương pháp giải:

Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng là mặt phẳng đi qua A và nhận vectơ \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\) làm vectơ pháp tuyến.

Lời giải chi tiết:

Cách làm:

- Tính \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\)

- Viết pt mặt phẳng theo công thức \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)

Đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng (d) là mặt phẳng đi qua A và nhận vectơ chỉ phương của (d) làm vectơ pháp tuyến.

Lời giải chi tiết:

Cách làm:

- Tìm một VTCP của (d) cũng chính là VTPT \(\overrightarrow n \) của (P)

- Viết pt mặt phẳng theo công thức \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng chéo nhau cho trước.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng đi qua A và song song với hai đường thẳng chéo nhau d₁,d₂ là mặt phẳng đi qua A và nhận vectơ \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\) làm vectơ pháp tuyến, trong đó \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) lần lượt là vectơ chỉ phương của d₁ và d₂.

Lời giải chi tiết:

Cách làm:

- Tìm VTCP của \({d_1},{d_2}\).

- Tính tích có hướng \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\)

- Viết pt mặt phẳng theo công thức \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)

Đi qua một đường thẳng và song song với một đường thẳng cho trước.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng đi qua đường thẳng (d₁) và song song với (d₂ ) là mặt phẳng đi qua M₀∈(d₁) và nhận vectơ \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\) làm vectơ pháp tuyến.

Trong đó \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) lần lượt là vectơ chỉ phương của d₁ và d₂.

Lời giải chi tiết:

Cách làm:

- Tìm một điểm đi qua của (P), chính là \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in {d_1}\) và VTCP của \({d_1},{d_2}\).

- Tính tích có hướng \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\)

- Viết pt mặt phẳng theo công thức \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)

Đi qua một điểm và vuông góc với hai mặt phẳng cho trước.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng đi qua A vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước (P) và (Q) là mặt phẳng đi qua A và nhận vectơ \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]\) làm vectơ pháp tuyến; trong đó \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) lần lượt là vectơ pháp tuyến của (P) và (Q).

Lời giải chi tiết:

Cách làm:

- Tìm các VTPT của \(\left( P \right),\left( Q \right)\).

- Tính tích có hướng \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]\)

- Viết pt mặt phẳng theo công thức \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Chứa hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song (d₁) và (d₂) là mặt phẳng đi qua M₁ và nhận vectơ \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right]\) làm vectơ pháp tuyến, trong đó M₁∈(d₁),M₂∈(d₂),\(\overrightarrow {{u_1}} \) là vectơ chỉ phương của (d₁).

=> Cách làm:

- Tìm VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} \) của \({d_1}\) và các điểm đi qua \({M_1} \in {d_1},{M_2} \in {d_2}\)

- Tính tích có hướng \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right]\)

- Viết pt mặt phẳng đi qua \({M_1}\) và nhận \(\overrightarrow n \) làm VTPT theo công thức \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)

Mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau (d₁) và (d₂) là mặt đi qua M₁∈(d₁) và nhận vectơ \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\) làm vectơ pháp tuyến, trong đó \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) lần lượt là vectơ chỉ phương của d₁ và d₂.

=> Cách làm:

- Tìm các VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) của \({d_1},{d_2}\) và điểm đi qua \({M_1} \in {d_1}\)

- Tính tích có hướng \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\)

- Viết pt mặt phẳng đi qua \({M_1}\) và nhận \(\overrightarrow n \) làm VTPT theo công thức \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Đi qua một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng đi qua đường thẳng (d) và vuông góc với mp(P) (d không vuông góc với mp(P)) là mặt phẳng đi qua M₀∈(d) và nhận vectơ \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right]\) làm vectơ pháp tuyến; trong đó \(\overrightarrow u \) là vectơ chỉ phương của (d), \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \) là vectơ pháp tuyến của mp(P).

Lời giải chi tiết:

Cách làm:

- Tìm VTCP \(\overrightarrow u \) của \(d\), VTPT \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \) của \(\left( P \right)\) và điểm đi qua \({M_0} \in d\)

- Tính tích có hướng \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right]\)

- Viết pt mặt phẳng đi qua \({M_0}\) và nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} \) làm VTPT theo công thức \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).