Bài 87 trang 19 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Với ba số  \(a, b, c\) không âm, chứng minh bất đẳng thức: 

\(a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \)

Hãy mở rộng kết quả cho trường hợp bốn số, năm số không âm. 

Lời giải chi tiết

Cách 1: 

Vì \(a, b\) và \(c\) không âm nên \(\sqrt a;\sqrt b \) và \(\sqrt c \) tồn tại.

Ta có: \({\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\) suy ra:

\(\eqalign{
& a + b - 2\sqrt {ab} \ge 0 \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \cr 
& \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \,\,(1) \cr} \)

\({\left( {\sqrt b  - \sqrt c } \right)^2} \ge 0\) suy ra:

\(\eqalign{
& b + c - 2\sqrt {bc} \ge 0 \Leftrightarrow b + c \ge 2\sqrt {bc} \cr 
& \Leftrightarrow {{b + c} \over 2} \ge \sqrt {bc} \,\,(2) \cr} \)

\({\left( {\sqrt c  - \sqrt a } \right)^2} \ge 0\) suy ra:

\(\eqalign{
& c + a - 2\sqrt {ca} \ge 0 \Leftrightarrow c + a \ge 2\sqrt {ca} \cr 
& \Leftrightarrow {{c + a} \over 2} \ge \sqrt {ca} \,\,(3) \cr} \)

Cộng từng vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3), ta có:

\(\dfrac{{a + b}}{2} + \dfrac{{b + c}}{2} + \dfrac{{c + a}}{2} \)\(\ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \) 

\(\Leftrightarrow \dfrac{{2a + 2b+2c}}{2} \)\(\ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \) 

\( \Leftrightarrow a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \)

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với các số không âm \(a, b, c\) ta có:

\(\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \) (1)

\(\dfrac{{b + c}}{2} \ge \sqrt {bc} \) (2)

\(\dfrac{{a + c}}{2} \ge \sqrt {ac} \) (3)

Cộng (1); (2); (3) theo vế ta có:

\(a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ac} \)

Suy ra, điều phải chứng minh.

+) Với bốn số \(a, b, c, d\) không âm, ta có:

\(a + b + c + d \)\(\ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {cd}  + \sqrt {da} \)

+) Với năm số a, b, c, d, e không âm, ta có:

\(a + b + c + d + e \)\(\ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {cd}  + \sqrt {de}  + \sqrt {ea} \)