/

/

Cấp số nhân là gì? Công thức cấp số nhân và bài tập vận dụng

Admin FQA

21/12/2022, 22:55

692

 

Cấp số nhân là gì? Công thức cấp số nhân cần nhớ có những gì? Admin sẽ giúp các em bổ sung kiến thức toán học lớp 11 quan trọng này. Đồng thời có đưa ra thêm một số bài tập đơn giản giúp các em vận dụng lý thuyết vào thực hành để xây dựng kỹ năng làm bài hiệu quả. Cùng bắt đầu ngay thôi nào!

Cấp số nhân là một dãy số thỏa mãn điều kiện từ số hạng đứng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng đều là tích số đứng trước nó với một số không đổi. Số không đổi này được coi là hằng số và gọi chuẩn xác là công bội của cấp số nhân.

Cấp số nhân đơn giản sẽ có dạng là:a, a.$q^2$, a.$q^3$, a.$q^4$, a.$q^5$, ... Trong đó, q chính là công bội và a chính là số hạng đầu tiên trong dãy.

Công bội (q) sẽ được tính theo công thức sau:

$q=\frac{u_{n+1}}{u_n}$

Ví dụ: Cho một cấp số nhân với $U_1$ bằng 3, $U_2$ bằng 9. Tính công bội q.

Giải:

Áp dụng công thức tính công bội ta có:

$q=\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{9}{3} = 3$

Vậy công bội của một cấp số nhân là 3.

Cấp số nhân có các tính chất như sau:

  •  $u_n$ là một cấp số nhân thì từ số hạng thứ hai, bình phương mỗi số hạng sẽ bằng tích của số đứng trước và số đứng sau nó. (Trường hợp này trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn).

$u_k^2=u_{k-1} \cdot u_{k+1}$ hay $\left|u_k\right|=\sqrt{u_{k-1} \cdot u_{k+1}}$, với $k \geq 2$

  • Nếu một cấp số nhân  $U_n$ có số hạng đầu là  $U_1$ và công bội q thì số hạng tổng quát  $U_n$  sẽ được tính bằng công thức cấp số nhân sau:

$u_n=u_1 \cdot q^{n-1},(n \geq 2)$

Các công thức có liên quan đến cấp số nhân

Công thức cấp số nhân tổng quát

Nếu  $u_n$ là cấp số nhân với công bội q, các em sẽ có công thức truy hồi như sau:

$u_{n+1}$ = q.$u_n$ , ∀n≥1,n ∈ N*(N* là tập hợp các số tự nhiên > 0)

Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Nếu cấp số nhân  $u_n$ có công bội q. $S_n$ là số nguyên dương của tổng n số hạng đầu tiên trong dãy cấp số nhân. Để tính tổng n số hạng đầu tiên, các em áp dụng công thức sau:

$S_n$ = $u_1$ + $u_2$+ … + $u_n$ = $u_1$(1-$q^n$)/(1-q)

Trong trường hợp, công bội q = 1, thì cấp số nhân $S_n$ = n.$U_1$ 

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Nếu cấp số nhân  $U_n$ có công bội q thỏa mãn điều kiện - 1 < q < 1 thì cấp số nhân được gọi là lùi vô hạn. Công thức như sau:

$S_n=\frac{u_1\left(q^n-1\right)}{q-1}=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q},(q \neq 1)$.

Để giúp các em hiểu rõ hơn về kiến thức cấp số nhân, cùng Admin đi vào các dạng bài tập áp dụng công thức cấp số nhân dưới đây:

Dạng 1: Nhận biết về cấp số nhân

Đối với dạng bài nhận biết cấp số nhân, bí quyết giải cho các em áp dụng đó là:

  • Đầu tiên các em cần tính công bội q của dãy số đề bài cho.
  • Kết quả công bội q không đổi thì dãy số được cho là cấp số nhân. Nhưng nếu kết quả có công bộ thay đổi theo n thì dãy số được cho không phải là cấp số nhân.

Ví dụ: Cho một cấp số nhân có số hạng thứ hai và thứ 5 lần lượt là 10 và 1250. Hãy tìm số hạng thứ nhất?

Giải:

Gọi q là công bộ của cấp số nhân. Khi đó tỷ số của số thứ năm với thứ 2 là:

$q^{(5-2)}$= $q^3$ = 1250 : 10 = 125 = $5^3$

Do đó, công bội q = 5, số thứ nhất trong dãy cấp số nhân là 10 : 5 = 2.

Vậy, số hạng thứ nhất trong dãy cấp số nhân cần tim là 2.

Dạng 2: Công bội của cấp số nhân

Phương pháp giải bài tập dạng này là:

  • Các em sẽ dùng đến các tính chất của cấp số nhân.
  • Sau đó biến đổi công thức để tính công bội của cấp số nhân đó.

Ví dụ: Cho một cấp số nhân  $u_n$ trong đó có $u_1$ = 2 và $u_2$ = 4. Hỏi công bội q bằng bao nhiêu?

Giải:

Áp dụng công thức tính công bội ta có: ${q}=\frac{u_2}{u_1} = \frac{4}{2} = 2$ 

Vậy công bội q có giá trị là 2.

Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số nhân

Đối với dạng bài này, các em sẽ giải bằng cách sử dụng công thức tính số hạng tổng quát ($u_n$ = $u_1$ . qn-1, $n > hoặc = 2$).

Ví dụ: Cho một dãy cấp số nhân $u_n$ với $u_1$ bằng 3, công bội q bằng -½. Hãy tính $u_7$?

Giải:

Áp dụng công thức:  $u_n =  u_1 .  q^{n-1}$ =>  $u_7 =  u_1 .  q^{(7-1}) = 3.(-\frac{1}{2})^6 = \frac{3}{64}$.

Vậy,  $u_7$  trong dãy cấp số nhân  $u_n$ có giá trị bằng $\frac{3}{64}$.

Như vậy, bài viết trên Admin đã cung cấp rất nhiều các công thức và kiến thức bổ ích liên quan đến cấp số nhân. Các em hãy áp làm thật nhiều bài tập và áp dụng công thức cấp số nhân sẽ hình thức kỹ năng và phản xạ làm bài. Từ đó kết quả học tập của các em cũng trở nên tốt hơn đó nhé!

 

Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
Bài viết liên quan
new
[Tổng hợp] Kiến thức về tích phân và dạng bài liên quan

Tích phân (Tiếng Anh: integral) là một khái niệm và phạm trù toán học liên quan đến toàn bộ quá trình thay đổi của một thực thể nguyên thuỷ (thực thể đó thường được diễn tả bằng một hàm số phụ thuộc vào biến số được gọi là nguyên hàm) khi đã xác định được tốc độ thay đổi của nó. Tích phân là phần kiến thức quan trọng được học trong chương trình toán lớp 12, trong bài viết này chúng mình cùng ôn lại khái niệm tích phân, tính chất, bảng nguyên hàm và vi phân, bảng nguyên hàm mở rộng và các dạng bài tập tích phân nhé.

Admin FQA

14/03/2024

new
[Tổng hợp] Kiến thức về đạo hàm và dạng bài liên quan

Trong toán học, đạo hàm (tiếng Anh: derivative) của một hàm số là một đại lượng mô tả sự biến thiên của hàm tại một điểm nào đó. Đạo hàm là một khái niệm cơ bản trong giải tích. Đạo hàm còn xuất hiện trong nhiều khái niệm vật lí, chẳng hạn đạo hàm biểu diễn vận tốc tức thời của một điểm chuyển động, khi mà công cụ này giúp đo lường tốc độ mà đối tượng đó thay đổi tại một thời điểm xác định. Vì vậy, trong bài viết này chúng ta cùng nhau nhắc lại khái niệm, các quy tắc tính đạo hàm, cũng như ý nghĩa của đạo hàm và một số dạng bài tập liên quan đến đạo hàm nhé.

Admin FQA

14/03/2024

new
[Tổng hợp] Kiến thức về Thì quá khứ hoàn thành tiếp diễn

Thì quá khứ hoàn thành tiếp diễn được xem như là một trong những thì phức tạp bậc nhất trong ngữ pháp tiếng Anh. Past perfect continuous tense là một thì rất hay xuất hiện trong những đề thi tiếng Anh, vậy nên các bạn nên ôn luyện thật kỹ loại thì này. FQA đã tổng hợp những kiến thức bạn cần biết để nắm chắc thì tương lai hoàn thành tiếp diễn ở bài viết dưới đây.

Admin FQA

14/03/2024

new
[Tổng hợp] Kiến thức về Thì hiện tại hoàn thành tiếp diễn

Đối với người học tiếng Anh “thì hiện tại hoàn thành tiếp diễn” là thì khá gần gũi và quen thuộc, hầu như chúng được lặp đi lặp lại trong tất cả các bài giảng hay tiết học. Vì mật độ sử dụng thường xuyên và là cách diễn đạt dễ nhất, nhưng không phải ai cũng đang dùng thì đúng cách. Hãy theo dõi bài viết dưới đây của FQA để tham khảo tất tần tật về thì hiện tại hoàn thành tiếp diễn nhé!

Admin FQA

14/03/2024

new
[Tổng hợp] Kiến thức về Thì tương lai hoàn thành tiếp diễn

Thì tương lai hoàn thành tiếp diễn được xem như là một trong những thì phức tạp bậc nhất trong ngữ pháp tiếng Anh. Đây là một thì rất hay xuất hiện trong những đề thi tiếng Anh, vậy nên các bạn nên ôn luyện thật kỹ loại thì này. FQA đã tổng hợp những kiến thức căn bản nhất bạn cần biết để nắm chắc thì tương lai hoàn thành ở bài viết dưới đây.

Admin FQA

14/03/2024

new
[Tổng hợp] Kiến thức về Thì tương lai hoàn thành

Thì tương lai hoàn thành (Future perfect tense) - kiến thức ngữ pháp được sử dụng vô cùng thông dụng trong bài thi tiếng Anh cũng như trong giao tiếp hàng ngày. Vậy nên, để có thể giao tiếp hiệu quả cũng như chinh phục được điểm số cao thì bạn cần “nằm lòng” chủ điểm ngữ pháp này. Vậy nên, trong bài viết hôm nay FQA xin giới thiệu tất tần tật kiến thức về thì tương lai hoàn thành trong tiếng Anh!

Admin FQA

14/03/2024

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved
gift-box
survey
survey
Đặt câu hỏi