Cấp số nhân là gì? Công thức cấp số nhân và bài tập vận dụng

Cấp số nhân là gì? Công thức cấp số nhân cần nhớ có những gì? Admin sẽ giúp các em bổ sung kiến thức toán học lớp 11 quan trọng này. Đồng thời có đưa ra thêm một số bài tập đơn giản giúp các em vận dụng lý thuyết vào thực hành để xây dựng kỹ năng làm bài hiệu quả. Cùng bắt đầu ngay thôi nào!

Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là một dãy số thỏa mãn điều kiện từ số hạng đứng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng đều là tích số đứng trước nó với một số không đổi. Số không đổi này được coi là hằng số và gọi chuẩn xác là công bội của cấp số nhân.

Cấp số nhân đơn giản sẽ có dạng là:a, a.$q^2$, a.$q^3$, a.$q^4$, a.$q^5$, ... Trong đó, q chính là công bội và a chính là số hạng đầu tiên trong dãy.

Công bội (q) sẽ được tính theo công thức sau:

$q=\frac{u_{n+1}}{u_n}$

Ví dụ: Cho một cấp số nhân với $U_1$ bằng 3, $U_2$ bằng 9. Tính công bội q.

Giải:

Áp dụng công thức tính công bội ta có:

$q=\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{9}{3} = 3$

Vậy công bội của một cấp số nhân là 3.

Tính chất của cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân có các tính chất như sau:

•  $u_n$ là một cấp số nhân thì từ số hạng thứ hai, bình phương mỗi số hạng sẽ bằng tích của số đứng trước và số đứng sau nó. (Trường hợp này trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn).

$u_k^2=u_{k-1} \cdot u_{k+1}$ hay $\left|u_k\right|=\sqrt{u_{k-1} \cdot u_{k+1}}$, với $k \geq 2$

• Nếu một cấp số nhân  $U_n$ có số hạng đầu là  $U_1$ và công bội q thì số hạng tổng quát  $U_n$  sẽ được tính bằng công thức cấp số nhân sau:

$u_n=u_1 \cdot q^{n-1},(n \geq 2)$

Các công thức có liên quan đến cấp số nhân

Các công thức có liên quan đến cấp số nhân

Công thức cấp số nhân tổng quát

Nếu  $u_n$ là cấp số nhân với công bội q, các em sẽ có công thức truy hồi như sau:

$u_{n+1}$ = q.$u_n$ , ∀n≥1,n ∈ N*(N* là tập hợp các số tự nhiên > 0)

Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Nếu cấp số nhân  $u_n$ có công bội q. $S_n$ là số nguyên dương của tổng n số hạng đầu tiên trong dãy cấp số nhân. Để tính tổng n số hạng đầu tiên, các em áp dụng công thức sau:

$S_n$ = $u_1$ + $u_2$+ … + $u_n$ = $u_1$(1-$q^n$)/(1-q)

Trong trường hợp, công bội q = 1, thì cấp số nhân $S_n$ = n.$U_1$ 

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Nếu cấp số nhân  $U_n$ có công bội q thỏa mãn điều kiện - 1 < q < 1 thì cấp số nhân được gọi là lùi vô hạn. Công thức như sau:

$S_n=\frac{u_1\left(q^n-1\right)}{q-1}=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q},(q \neq 1)$.

Các dạng bài tập thường gặp liên quan đến công thức cấp số nhân

Để giúp các em hiểu rõ hơn về kiến thức cấp số nhân, cùng Admin đi vào các dạng bài tập áp dụng công thức cấp số nhân dưới đây:

Dạng 1: Nhận biết về cấp số nhân

Đối với dạng bài nhận biết cấp số nhân, bí quyết giải cho các em áp dụng đó là:

• Đầu tiên các em cần tính công bội q của dãy số đề bài cho.
• Kết quả công bội q không đổi thì dãy số được cho là cấp số nhân. Nhưng nếu kết quả có công bộ thay đổi theo n thì dãy số được cho không phải là cấp số nhân.

Ví dụ: Cho một cấp số nhân có số hạng thứ hai và thứ 5 lần lượt là 10 và 1250. Hãy tìm số hạng thứ nhất?

Giải:

Gọi q là công bộ của cấp số nhân. Khi đó tỷ số của số thứ năm với thứ 2 là:

$q^{(5-2)}$= $q^3$ = 1250 : 10 = 125 = $5^3$

Do đó, công bội q = 5, số thứ nhất trong dãy cấp số nhân là 10 : 5 = 2.

Vậy, số hạng thứ nhất trong dãy cấp số nhân cần tim là 2.

Dạng 2: Công bội của cấp số nhân

Phương pháp giải bài tập dạng này là:

• Các em sẽ dùng đến các tính chất của cấp số nhân.
• Sau đó biến đổi công thức để tính công bội của cấp số nhân đó.

Ví dụ: Cho một cấp số nhân  $u_n$ trong đó có $u_1$ = 2 và $u_2$ = 4. Hỏi công bội q bằng bao nhiêu?

Giải:

Áp dụng công thức tính công bội ta có: ${q}=\frac{u_2}{u_1} = \frac{4}{2} = 2$ 

Vậy công bội q có giá trị là 2.

Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số nhân

Đối với dạng bài này, các em sẽ giải bằng cách sử dụng công thức tính số hạng tổng quát ($u_n$ = $u_1$ . qn-1, $n > hoặc = 2$).

Ví dụ: Cho một dãy cấp số nhân $u_n$ với $u_1$ bằng 3, công bội q bằng -½. Hãy tính $u_7$?

Giải:

Áp dụng công thức:  $u_n$ = $u_1$ .  $q^{n-1}$ =>  $u_7 =  u_1 .  q^{(7-1)} = 3.(-\frac{1}{2})^6 = \frac{3}{64}$.

Vậy,  $u_7$  trong dãy cấp số nhân  $u_n$ có giá trị bằng $\frac{3}{64}$.

Như vậy, bài viết trên Admin đã cung cấp rất nhiều các công thức và kiến thức bổ ích liên quan đến cấp số nhân. Các em hãy áp làm thật nhiều bài tập và áp dụng công thức cấp số nhân sẽ hình thức kỹ năng và phản xạ làm bài. Từ đó kết quả học tập của các em cũng trở nên tốt hơn đó nhé!