Chia sẻ cách tính diện tích hình thang và bài tập vận dụng

Hôm nay Admin sẽ giúp các em nắm được công thức tính diện tích hình thang qua lý thuyết và bài tập vận dụng được chia sẻ trong bài viết dưới đây. Bắt đầu học toán với Admin để đạt điểm cao nhé!

Trước khi nắm công thức tính diện tích hình thang, các em cần ôn lại một chút định nghĩa về hình thang. Hình thang chính là một tứ giác lồi với 2 cạnh đáy song song nhau và 2 cạnh bên. Hình thang có một số dạng đặc biệt như:

Hình thang vuông (Có một góc bằng 90 độ)
Hình thang cân (Có 2 góc kề 1 đáy bằng nhau)
Hình chữ nhật (Hình thang vừa cân vừa vuông)
Hình bình hành (Hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau và song song, 2 cạnh đáy bằng nhau)

Tùy từng trường hợp hình thang mà các em có thể vận dụng các công thức tính diện tích hình thang như sau:

Công thức tính diện tính hình thang chung

Diện tích hình thang được tính bằng $\frac{1}{2}$ chiều cao nhân với tổng độ dài 2 cạnh đáy. Công thức chung như sau:

$S=\frac{1}{2}.h.\left( a+b \right)$.

Trong đó:

S là diện tích hình thang
h là chiều cao của hình thang được nối từ một đỉnh xuống đáy.
a là một cạnh đáy của hình thang
b là cạnh đáy còn lại của hình thang.

Hình thang ABCD

Ví dụ: Cho một hình thang ABCD, AH là đường cao của hình thang có kích thước bằng 5cm, cạnh đáy AB bằng 6cm và cạnh đáy DC bằng 8cm. Hãy tính diện tích hình thang ABCD.

Giải:

Ta có: AH = 5cm, AB = 6cm, DC = 8cm

Áp dụng công thức tính diện tích hình thang ABCD là:

${{S}_{ABCD}}=\frac{1}{2}.h.\left( a+b \right)=\frac{1}{2}.5.\left( 6+8 \right)=35\left( c{{m}^{2}} \right)$.

Vậy, diện tích hình thang ABCD là $35\text{ }c{{m}^{2}}$.

Công thức tính diện tích hình thang vuông

Hình thang có một góc bằng 90 độ chính là hình thang vuông. Khi đó diện tích hình thang vuông bằng trung bình cộng 2 cạnh đáy nhân với chiều cao (Chiều cao này sẽ là độ dài cạnh bên vuông góc với 2 đáy). Công thức tính diện tính hình thang vuông như sau:

$S\text{ }=\frac{\left( a+b \right)}{2.h}$

Trong đó:

S là diện tích hình thang vuông
a là độ dài 1 cạnh đáy hình thang vuông
b là độ dài cạnh đáy còn lại của hình thang vuông
h là chiều cao của hình thang vuông.

Hình thang vuông

Ví dụ: Cho một hình thang vuông ABCD, có độ dài 2 cạnh đáy AB = 7cm, DC = 10cm, cạnh bên AD = 6cm. Hãy tính diện tích hình thang vuông ABCD?

Giải:

Ta có: AB = 7cm, DC = 10cm, AD = 6cm.

Áp dụng công thức tính diện tích hình thang vuông ABCD là:

$S\text{ }=\text{ }\frac{\left( a+b \right)}{2.h\text{ }}=\text{ }\frac{\left( 7+10 \right)}{2.6}=\text{ }51\left( c{{m}^{2}} \right)$

Vậy, diện tích hình thang vuông ABCD là $51\text{ }c{{m}^{2}}$.

Công thức tính diện tích hình thang cân

Hình thang cân là một hình thang đặc biệt với 2 góc kề 1 đáy bằng nhau, vì vậy mà 2 cạnh bên sẽ bằng nhau, nhưng không song song. Theo đó, diện tích hình thang cân bằng tổng diện tích hình tam giác được tạo bởi đường cao với cạnh đáy và hình chữ nhật.

Hình thang cân

Cho một hình thang cân ABCD, kẻ từ đỉnh A và B xuống cạnh đáy DC ta có các đường cao lần lượt là AH và BK. Khi đó diện tích hình thang cân được tính bằng công thức sau:

${{S}_{ABCD}}~=\text{ }{{S}_{AHD}}~+\text{ }{{S}_{ABKH~}}~+\text{ }{{S}_{BKC}}$

Trong đó: ${{S}_{AHD~}}=\text{ }{{S}_{BKC}}$

Do đó ta có thể biến đổi công thức trên như sau:

${{S}_{ABCD}}~=\text{ }{{S}_{AHD}}~+\text{ }{{S}_{ABKH~}}~+\text{ }{{S}_{BKC}}\\$

$\Leftrightarrow \text{ }{{S}_{ABCD}}~=\text{ }{{S}_{ABKH~}}~+\text{ }2.{{S}_{AHD}}~\\$

$\Leftrightarrow \text{ }{{S}_{ABCD}}~=\text{ }AH.AB\text{ }+\text{ }2.\left( AH.DH \right):2\\$

$\Leftrightarrow \text{ }{{S}_{ABCD}}~=\text{ }AH.AB\text{ }+\text{ }AH.DH\\$

Ví dụ: Cho một hình thang cân ABCD có: AH kẻ từ đỉnh A xuống cạnh đáy DC là 5cm, khoảng cách DH là 3cm, độ dài đáy AB là 10cm. Hãy tính diện tích hình thang cân ABCD.

Giải:

Ta có: AH = 5cm, DH = 3cm, AB = 10cm

Áp dụng công thức tính diện tích hình thang cân ABCD ta có:

${{S}_{ABCD}}~=\text{ }AH.AB\text{ }+\text{ }AH.DH\text{ }=\text{ }5.10\text{ }+\text{ }5.3\text{ }=\text{ }65\text{ }\left( c{{m}^{2}} \right)~$

Vậy, diện tích hình thang cân ABCD là $65\text{ }c{{m}^{2}}$.

Các công thức để tính chiều cao, đáy lớn, đáy nhỏ hình thang

Để có thể tính diện tích hình thang, các em cần có dữ liệu về chiều cao, độ dài cạnh đáy lớn và nhỏ. Vì vậy, Admin sẽ chia sẻ đến các em công thức để tính được chúng. Cụ thể như sau:

Công thức tính chiều cao hình thang khi đề bài cho chiều dài 2 cạnh và diện tích là:

$h\text{ }=\text{ }\left( S.2 \right)\text{ }:\text{ }\left( a+b \right)$

Công thức tính tổng 2 đáy lớn và nhỏ của hình thang khi biết chiều cao và diện tích là:

$a+b\text{ }=\text{ }2.S:h$

Khi làm giải toán về diện tích hình thang lớp 5, các em sẽ gặp phải 2 dạng bài phổ biến là cho biết độ dài cạnh đáy và chiều cao hoặc cho biết độ dài cạnh bên. Vậy làm thế nào để tính được diện tích hình thang? Chi tiết Admin sẽ hướng dẫn các em thực hiện từng bước như sau:

Chiều cao và độ dài 2 cạnh đáy

Trong trường hợp đề bài cho dữ liệu về độ dài 2 cạnh đáy và chiều cao. Đây là dạng cơ bản để giúp các em làm quen với công thức tính diện tích hình thang. Để có được kết quả đúng các em thực hiện như sau:

Bước 1: Đọc kỹ đề bài và tóm tắt các dữ liệu về độ dài các cạnh, chiều cao của hình thang được cho.
Bước 2: Nhớ lại công thức tính diện tích hình thang mà Admin đã chia sẻ ở trên.
Bước 3: Áp số liệu vào công thức để tính kết quả.
Bước 4: Kiểm tra lại kết quả, rồi đưa ra đáp án vào bài chuẩn xác.

Độ dài cạnh bên hình thang và độ dài cạnh đáy nhỏ

Trong trường hợp, đề bài cho hình thang, nhưng lại chỉ cho độ dài của 2 cạnh bên. Đây là dạng bài nâng cao với cách tính khá phức tạp. Muốn giải được dạng này, các em sẽ thực hiện từng bước theo hướng dẫn như sau:

Bước 1: Kẻ các đường cao thẳng từ 2 góc của đáy nhỏ xuống đáy lớn hình thang. Lúc này các em sẽ có 2 tam giác vuông.
Bước 2: Áp dụng định lý Pitago để tính độ dài các cạnh trong tam giác vừa tạo.
Bước 3: Tính kết quả của đường cao trong tam giác vuông vừa kẻ.
Bước 4: Lấy kết quả tính được, sau đó áp vào công thức tính diện tích hình thang.
Bước 5: Kiểm tra lại đáp án và viết kết quả.

Các em đã cùng Admin đi qua rất nhiều kiến thức lý thuyết về diện tích hình thang vô cùng bổ ích. Bây giờ đã đến thời điểm các em cần vận dụng kiến thức lý thuyết vào làm bài tập thực tế. Admin có cung cấp một số bài tập vận dụng công thức để các em có kỹ năng làm bài tốt hơn.

Bài 1: Tính diện tích hình thang khi biết độ dài 2 cạnh đáy lần lượt là 10cm và 17cm, chiều cao tam giác là 15cm. Hãy tính diện tích hình thang này.

Giải:

Gọi a là độ dài đáy nhỏ, b là độ dài đáy lớn, h là chiều cao hình thang.

Theo đề bài ta có: a = 10cm, b = 17cm, h = 15cm

Áp dụng công thức tính diện tích hình thang ta có:

$S\text{ }=\text{ }\frac{1}{2}.h.\left( a+b \right)\text{ }=\text{ }\frac{1}{2}.15.\left( 10+17 \right)\text{ }=\text{ }202,5\text{ }c{{m}^{2}}$

Vậy diện tích hình thang là $202,5\text{ }c{{m}^{2}}$.

Bài 2: Cho một hình thang có chiều cao là 50 cm, đáy lớn hơn đáy bé 24 cm, đáy bé bằng $\frac{2}{5}$đáy lớn. Hãy tính diện tích hình thang này.

Giải:

Gọi h là chiều cao, a là độ dài đáy lớn, b là độ dài đáy nhỏ hình thang.

Theo đề bài ta có: $h\text{ }=\text{ }50\,\,cm,\text{ }a\text{ }=\text{ }b\text{ }+\text{ }24\,\,cm,\,\,b\text{ }=\text{ }\frac{2}{5}.a~$

Hiệu số phần bằng nhau là: 5 - 2 = 3 (phần)

Độ dài đáy lớn là: 24:3x5 = 40 cm

Độ dài đáy nhỏ là: 40 – 24 = 16 cm

Áp dụng công thức tính diện tích hình thang ta có:

$S\text{ }=\text{ }\frac{1}{2}.h.\left( a+b \right)\text{ }=\text{ }\frac{1}{2}.50.\left( 16+40 \right)\text{ }=\text{ 14}00\text{ }\left( c{{m}^{2}} \right)$

Vậy, diện tích hình thang là $1400\,c{{m}^{2}}$

Bài 3: Cho một mảnh vườn hình thang có trung bình cộng 2 đáy là 46m. Nếu mở rộng thêm đáy lớn 12m và giữ nguyên độ dài đáy nhỏ sẽ giúp diện tích mảnh vườn lớn hơn $114\,{{m}^{2}}$ so với ban đầu. Hãy tính diện tích mảnh vườn ban đầu.

Giải:

Tổng 2 đáy mảnh vườn hình thang đầu là: 46 x 2 = 92 (m)

Gọi h là chiều cao của mảnh vườn hình thang. Khi đó, diện tích ban đầu của mảnh vườn hình thang sẽ là:

92 x h : 2 = 46 x h

Theo đề bài tổng 2 đáy lớn và đáy bé sau khi mở rộng thêm 12 cho đáy lớn là:

92 + 12 = 104 (m)

Diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng phần đáy lớn là: 104 x h : 2 = 52 x h

=> 52 x h – 46 x h = 114

=> h = 19 (m)

Vậy, diện tích ban đầu của mảnh vườn hình thang là:

46 x 19 = 874 (m²)

Như vậy, Admin đã mang đến cho các em rất nhiều kiến thức bổ ích về diện tích hình thang. Có bất kỳ thắc mắc hay bài tập liên quan nào không thể giải, hãy gửi đến Admin để nhận được sự giúp đỡ các em nhé!