Tổng hợp đầy đủ các kiến thức về hình tứ diện đều và bài tập

Tứ diện đều là gì? Nó có tích chất, công thức tính diện tích và thể tích như thế nào? Cùng tìm hiểu đầy đủ các kiến thức lý thuyết và bài tập vận dụng liên quan đến tứ diện đều với thông tin được Admin cung cấp trong bài viết dưới đây nhé!

Tứ diện đều là một khối đa diện với tất cả các mặt bên đều là tam giác đều. Hiểu đơn giản thì một hình trong không gian 3 chiều mà có 4 mặt đều là hình tam giác đều thì đó là hình tứ diện đều.

Tứ diện đều còn được gọi là hình chóp tam giác đều. Tuy nhiên, hình chóp tam giác đều này còn phải có thêm điều kiện là cạnh đáy của hình cũng là một tam giác đều.

Tứ diện đều là gì?

Hình tứ diện đều có đầy đủ các tính chất như sau:

Bốn mặt của tứ diện đều đều là những tam giác đều có cạnh bằng nhau
Các mặt bên của tứ diện đều là những tam giác với 3 góc nhọn có số đo đều bằng 60 độ.
Tổng các góc tại một đỉnh bất kỳ trong tứ diện đều đều bằng 180 độ
Hai cặp cạnh đối diện nhau trong tứ diện đều sẽ có độ dài bằng nhau
Tất cả các mặt bên của hình tứ diện đều đều có diện tích, kích thước tương đương nhau
Bốn đường cao của hình tứ diện đều cũng có độ dài bằng nhau
Tâm của các mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp sẽ trùng với tâm của hình tứ diện đều
Hình hộp ngoại tuyến tứ diện sẽ là hình hộp chữ nhật
Đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện trong hình tứ diện sẽ là một đường thẳng vuông góc của 2 cạnh đó.
Các góc phẳng nhị diện ứng với mỗi cặp cạnh đối diện của tứ giác đều đều bằng nhau
Một tứ giác đều sẽ có 3 trục đối xứng với nhau
Tổng các cos của các góc phẳng nhị diện trong tứ diện đều có chứa cùng một mặt bằng tứ diện sẽ luôn bằng 1.

Các tính chất của tứ diện đều

Cho một hình tứ diện A.BCD, khi đó công thức tính thể tích hình tứ diện đều sẽ bằng $\frac{1}{3}$ tích của diện tích đáy nhân với chiều cao. Công thức tổng quát sẽ là:

$\mathrm{V}=\frac{1}{3} \cdot \mathrm{S}_{\mathrm{d}} \cdot \mathrm{h}$

Trong đó:

V là thể tích của hình tứ diện đều
S_đ là diện tích mặt đáy của hình tứ diện đều
h là độ dài chiều cao của hình tứ diện đều.

Ví dụ: Cho một hình tứ diện đều A.BCD cạnh a. Kẻ từ đỉnh A một đường cao AH xuống mặt phẳng (BCD). Khi đó H là tâm của tam giác đều BCD. Hãy tính thể tích tứ diện đều cạnh a?

Giải:

Chiều cao của hình tứ diện đều là: $h=A H=\frac{a \sqrt{6}}{3}$

Diện tích mặt đáy BCD là: $S=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

$\Rightarrow A G=\sqrt{A B^2-B G^2}$

$\Rightarrow A G=\frac{a \sqrt{6}}{3}$

Thể tích của hình tứ diện đều A.BCD cạnh a là:

$V=\frac{1}{3} S . A G=\frac{a^3 \sqrt{2}}{12}$

Để giải bài tập về hình tứ diện đều trong không gian 3 chiều, việc vẽ hình để minh họa cho bài tập là rất quan trọng. Thông qua hình vẽ được dựng lên các em có thể nhìn hình và đưa ra các chứng minh chặt chẽ để giải quyết bài tập một cách nhanh chóng nhất. Vì vậy, Admin sẽ hướng dẫn cách em cách vẽ tứ diện đều cạnh a chi tiết như sau:

Hướng dẫn chi tiết cách vẽ tứ diện đều cạnh a

Bước 1: Đầu tiên, các em sẽ coi tứ diện đều cần vẽ là một hình chóp tam giác đều với đỉnh là A và đáy là tam giác BCD.
Bước 2: Các em sẽ tiến hành vẽ cạnh đáy BCD trước tiên.
Bước 3: Sau đó các em sẽ cần tiến hành xác định trọng tâm G của tam giác BCD đã dừng ở bước trên. Để dựng được trọng tâm G, các em sẽ dựng các đường trung trực từ các cạnh của hình tam giác BCD. Điểm giao nhau của 3 đường trung trực chính là trọng tâm G.
Bước 4: Tiếp tục các em cần dựng đường cao của hình tứ diện đều. Đường cao này sẽ là một đường thẳng đi qua đỉnh của tứ diện và nó vuông góc với mặt phẳng đáy. Do nó là một hình tứ diện đều, nên đường cao của hình sẽ đi qua trọng tâm của mặt phẳng đáy BCD. Vì vậy, các em sẽ dựng một đường thẳng vuông góc với trọng tâm G của tam giác BCD.
Bước 5: Xác định đỉnh A của tứ diện đều là là điểm nằm trên đường cao bạn vừa dựng ở bước 4. Sau đó các em sẽ nối các đỉnh của đáy BCD cắt nhau tại điểm A. Như vậy các em đã được một hình tứ diện đều hoàn thiện.

Một hình tứ diện đều sẽ có tổng cộng 4 đỉnh và 6 cạnh, 4 đỉnh sẽ có số đo góc bằng nhau, 6 cạnh có độ dài bằng nhau.

Trong hình tứ diện đều A.BCD, G là tâm của hình tứ diện đều khi và chỉ khi:

$\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G D}=0$

Một hình tứ diện đều chỉ có một trọng tâm duy nhất và điểm G nằm trên đường thẳng nối từ đỉnh xuống cạnh đáy của hình tứ giác đều.

Hiện nay, hình tứ diện đều được ứng dụng rất nhiều trong cuộc sống, từ các món đồ chơi cho đến các vật dụng hữu ích hàng ngày. Một số ứng dụng thường gặp như: Rubik tứ diện đều, hộp quà, gói kẹo,...

Ứng dụng tứ diện đều trong cuộc sống

Admin đã cung cấp kiến thức về hình tứ diện đều để các em nắm được. Hãy áp dụng nó vào bài tập để rèn luyện kỹ năng làm bài tốt nhất nhé!

Bài 1: Hãy tính thể tích của khối tứ diện đều ABCD khi biết:

a, Cạnh AB = 5cm

b, Cạnh CD = 7cm

c, Cạnh BD = 4cm

d, Cạnh AC = 6cm

Giải:

Để tính được thể tích khối tứ diện đều cạnh a, ta có công thức: $V=\frac{a^3 \sqrt{2}}{12}$

a, Vì ABCD là một khối tứ diện đều, nên các cạnh của tứ diện đều có độ dài bằng nhau:

BC = CD = DA = BD = AC = AB = 5cm

a = 4cm

Áp dụng công thức tính thể tích khối tứ diện đều, ta có:

$V=\frac{5^3 \sqrt{2}}{12} \approx 14,73\left(\mathrm{~cm}^3\right)$

b, Vì ABCD là một khối tứ diện đều, nên các cạnh của tứ diện đều có độ dài bằng nhau:

BC = CD = DA = BD = AC = AB = 7cm

a = 7cm

Áp dụng công thức tính thể tích khối tứ diện đều, ta có:

$V=\frac{7^3 \sqrt{2}}{12} \approx 40,42\left(\mathrm{~cm}^3\right)$

c, Vì ABCD là một khối tứ diện đều, nên các cạnh của tứ diện đều có độ dài bằng nhau:

BC = CD = DA = BD = AC = AB = 4cm

a = 4cm

Áp dụng công thức tính thể tích khối tứ diện đều, ta có:

$V=\frac{4^3 \sqrt{2}}{12} \approx 7,54\left(\mathrm{~cm}^3\right)$

d, Vì ABCD là một khối tứ diện đều, nên các cạnh của tứ diện đều có độ dài bằng nhau:

BC = CD = DA = BD = AC = AB = 6cm

a = 6cm

Áp dụng công thức tính thể tích khối tứ diện đều, ta có:

$V=\frac{6^3 \sqrt{2}}{12} \approx 25,45\left(\mathrm{~cm}^3\right)$

Bài 2: Tìm số mặt phẳng đối xứng của một hình tứ diện đều?

Giải:

Các mặt phẳng đối xứng của một hình tứ diện đều là các mặt phẳng có chứa một cạnh và qua trung điểm cạnh đối diện. Vì vậy, hình tứ diện đều sẽ có tổng cộng 6 mặt đối xứng với nhau.

Bài 3: Cho một khối tứ diện đều ABCD, có cạnh AB bằng 2a, hãy tính thể tích khối tứ diện đều này.

Giải:

Áp dụng công thức tính thể tích khối tứ diện đều ABCD, ta có:

$V=\frac{(2 a)^3 \sqrt{2}}{12}=\frac{2 a^3 \sqrt{2}}{3}\left(\mathrm{~cm}^3\right)$

Vậy, thể tích khối tứ diện đều ABCD là $\frac{2 a^3 \sqrt{2}}{3}$.

Như vậy, toàn bộ thông tin được chia sẻ trong bài viết trên đã cung cấp cho các em kiến thức bổ ích về tứ diện đều. Các em không chỉ nắm được định nghĩa, tính chất mà còn nắm được công thức tính thể tích, cách vẽ và bài tập vận dụng. Hy vọng nó bổ ích và giúp các em học toán giỏi hơn, giải hình học dễ dàng hơn.