cho hàm số $ \sqrt{1-x-x^2} $ (c) tìm phương trình tiếp tuyến với (c) song song với đường thẳng (d) : x+2y=0

Question

Accepted Answer

Để tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số $y=\sqrt{1-x-x^2}$ tại một điểm $P$ trên đồ thị, ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{1-x-x^2}$.

Ta có:
$$y' = \frac{d}{dx}(\sqrt{1-x-x^2}) = \frac{-1-2x}{2\sqrt{1-x-x^2}}$$

Bước 2: Tìm tọa độ của điểm $P$ trên đồ thị của hàm số $y=\sqrt{1-x-x^2}$.

Để tìm tọa độ của điểm $P$, ta cần giải phương trình $x+2y=0$ và $y=\sqrt{1-x-x^2}$ đồng thời. Ta có:

$$x+2y=0 \Rightarrow x=-2y$$

Thay $x=-2y$ vào $y=\sqrt{1-x-x^2}$, ta được:

$$y=\sqrt{1-(-2y)-(-2y)^2} = \sqrt{1+6y^2-4y^2} = \sqrt{1+2y^2}$$

Phương trình đường thẳng (d) là $x+2y=0$, nghĩa là $x=-2y$. Do đó, tọa độ của điểm $P$ trên đồ thị của hàm số $y=\sqrt{1-x-x^2}$ là $(x,y)=(-2y,y)$.

Bước 3: Tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{1-x-x^2}$ tại điểm $P$.

Để tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{1-x-x^2}$ tại điểm $P(-2y,y)$, ta thay $x=-2y$ vào công thức đạo hàm đã tính được ở bước 1:

$$y' = \frac{-1-2x}{2\sqrt{1-x-x^2}} = \frac{-1+4y}{2\sqrt{1+3y^2}}$$

Tại điểm $P(-2y,y)$, đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{1-x-x^2}$ là:

$$y' = \frac{-1+4y}{2\sqrt{1+3y^2}}$$

Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số $y=\sqrt{1-x-x^2}$ tại điểm $P$.

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số $y=\sqrt{1-x-x^2}$ tại điểm $P(-2y,y)$ có dạng:

$$y - y_P = y'(x - x_P)$$

Thay $x_P=-2y$ và $y_P=y$ vào phương trình trên, ta được:

$$y - y = \frac{-1+4y}{2\sqrt{1+3y^2}}(x + 2y)$$

Simplifying, we get:

$$-x + (4y-1)\frac{x}{\sqrt{1+3y^2}} + 2(4y-1)y\frac{1}{\sqrt{1+3y^2}} = 0$$

Đây là phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số $y=\sqrt{1-x-x^2}$ tại điểm $P(-2y,y)$ và song song với đường thẳng $x+2y=0$.

cho hàm số (c) tìm phương trình tiếp tuyến với (c) song song với đường thẳng (d) : x+2y=0