Lập phương trình chính tắc của elip , biết elip đi qua điểm M(2;5/3) và có một tiêu điểm F1(-2;0)

Để lập phương trình chính tắc của elip, ta cần tìm tiêu điểm F2 và độ dài trục lớn của elip. Vì F1(-2;0) là tiêu điểm của elip, nên ta có: c = 2 Trong đó, c là khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng F1F2 đến tiêu điểm F1 hoặc F2. Ta cũng biết rằng điểm M(2;5/3) nằm trên elip, nên ta có: MF1 + MF2 = 2a Trong đó, a là độ dài nửa trục lớn của elip. Để tìm F2, ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm: d(F1, F2) = 2a Với F1(-2;0) và c = 2, ta có: F2(-2 + 2; 0) = F2(0;0) Vậy F2(0;0). Tiếp theo, ta tính độ dài nửa trục lớn a bằng cách sử dụng thông tin về điểm M(2;5/3): MF1 + MF2 = 2a √[(2 - (-2))^2 + (5/3 - 0)^2] + √[(2 - 0)^2 + (5/3 - 0)^2] = 2a √[(2 + 2)^2 + (5/3)^2] + √[2^2 + (5/3)^2] = 2a √(16 + 25/9) + √(4 + 25/9) = 2a √(169/9) + √(49/9) = 2a 13/3 + 7/3 = 2a 10 = 2a a = 5 Vậy phương trình chính tắc của elip là: (x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1 Trong đó, (h, k) là tọa độ của trung điểm của đoạn thẳng F1F2, a là độ dài nửa trục lớn và b là độ dài nửa trục nhỏ. Với F1(-2;0) và F2(0;0), ta có: (h, k) = (-1;0) a = 5 Để tính b, ta sử dụng công thức: b = √(a^2 - c^2) Với c = 2 và a = 5, ta có: b = √(5^2 - 2^2) = √21 Vậy phương trình chính tắc của elip là: (x + 1)^2/25 + y^2/21 = 1