help me :'(( 18. Giải hệ phương trình:   \left\{\begin{array}cxy-x-y=-5\\frac1{x^2-2x}+\frac1{y^2-2y}=\frac23\end{array} ight.

Question

help me :&#x27;(( 18. Giải hệ phương trình: &nbsp; \left\{\begin{array}cxy-x-y=-5\\frac1{x^2-2x}+\frac1{y^2-2y}=\frac23\end{array}ight.

tranthihang8 · Accepted Answer

Ta có $\displaystyle x,y
eq 0\ và\ x,y
eq 2$
Ta có $\displaystyle \begin{cases}
xy-x-y & =-5\
\frac{1}{x^{2} -2x} +\frac{1}{y^{2} -2y} & =\frac{2}{3}
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
( x-1)( y-1) & =-4\
\frac{1}{x^{2} -2x} +\frac{1}{y^{2} -2y} & =\frac{2}{3}
\end{cases}$
Đặt $\displaystyle \begin{cases}
a= & x-1\
b= & y-1
\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}
x^{2} -2x= & a^{2} -1\
y^{2} -2y= & b^{2} -1
\end{cases} \ và\ ab=-4$
Ta có: $\displaystyle \frac{1}{x^{2} -2x} +\frac{1}{y^{2} -2y} =\frac{2}{3} \Leftrightarrow a^{2} +b^{2} =8\Leftrightarrow a+b=0$
Ta có $\displaystyle a+b=0\Rightarrow b=-a\Rightarrow ab=-4\Rightarrow -a^{2} =-4\Leftrightarrow a=\pm 2$
TH1 $\displaystyle \begin{cases}
a= & -2\
b= & 2
\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}
x= & -1\
y= & 3
\end{cases}$
TH2$\displaystyle \begin{cases}
a= & 2\
b= & -2
\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}
x= & 3\
y= & -1
\end{cases}$
Vậy nghiệm của hệ là (-1;3) và (3;-1)

Timi · Answer

Để giải hệ phương trình này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Giải phương trình thứ nhất để tìm một biến theo biến còn lại.

Ta có: $xy - x - y = -5 \Rightarrow xy - x - y + 1 = -4 \Rightarrow (x-1)(y-1) = -4$

Bước 2: Thay biểu thức vừa tìm được vào phương trình thứ hai.

Ta có: $\frac{1}{x^2-2x} + \frac{1}{y^2-2y} = \frac{2}{3}$

Thay $(x-1)(y-1) = -4$ vào, ta được:

$\frac{1}{(x-1)^2-2(x-1)} + \frac{1}{(y-1)^2-2(y-1)} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow \frac{1}{(x-1)(x-3)} + \frac{1}{(y-1)(y-3)} = \frac{2}{3}$

Bước 3: Giải phương trình đã thu được.

Ta có: $\frac{1}{(x-1)(x-3)} + \frac{1}{(y-1)(y-3)} = \frac{2}{3}$

Nhân cả hai vế của phương trình với $(x-1)(y-1)(x-3)(y-3)$, ta được:

$(y-1)(y-3) + (x-1)(x-3) = \frac{2}{3}(x-1)(y-1)(x-3)(y-3)$

Mở ngoặc và đơn giản hóa, ta được:

$y^2 - 4y + 3 + x^2 - 4x + 3 = \frac{2}{3}(xy - x - y + 1)(xy - x - y + 9)$

$y^2 - 4y + x^2 - 4x + 6 = \frac{2}{3}(xy - x - y + 1)(xy - x - y + 9)$

Bước 4: Thay $(x-1)(y-1) = -4$ vào phương trình đã thu được.

Ta có: $y^2 - 4y + x^2 - 4x + 6 = \frac{2}{3}(-4)(xy - x - y + 9)$

$y^2 - 4y + x^2 - 4x + 6 = \frac{-8}{3}(xy - x - y + 9)$

$3y^2 - 12y + 3x^2 - 12x + 18 = -8xy + 8x + 8y - 72$

$3y^2 + 8xy - 20y + 3x^2 - 8x - 8y + 90 = 0$

Bước 5: Đặt $S = x + y$, $P = xy$

Thay vào phương trình đã thu được, ta được:

$3(S^2 - 2P) + 8P - 20S + 3(S^2 - 2P) - 8S + 90 = 0$

$6S^2 - 26S + 90 = 0$

Bước 6: Giải phương trình đã thu được để tìm giá trị của $S$.

Ta có: $6S^2 - 26S + 90 = 0$

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta được:

$S = \frac{-(-26) \pm \sqrt{(-26)^2 - 4(6)(90)}}{2(6)}$

$S = \frac{26 \pm \sqrt{676 - 2160}}{12}$

$S = \frac{26 \pm \sqrt{-1484}}{12}$

Vì $\sqrt{-1484}$ không tồn tại trong tập số thực, nên phương trình không có nghiệm.

Vậy, hệ phương trình ban đầu không có nghiệm.

Trần Vũ Lâm · Answer

Để giải hệ phương trình này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Giải phương trình thứ nhất:

cx - x - y = -5

(c - 1)x - y = -5

Bước 2: Giải phương trình thứ hai:

(x^2 - 2x) + (y^2 - 2y) = 2/3

x^2 - 2x + y^2 - 2y = 2/3

Bước 3: Kết hợp hai phương trình trên để loại bỏ biến y:

(c - 1)x - y = -5

x^2 - 2x + y^2 - 2y = 2/3

(c - 1)x = y - 5

x^2 - 2x + y^2 - 2y = 2/3

Bước 4: Thay y = (c - 1)x - 5 vào phương trình thứ hai:

x^2 - 2x + ((c - 1)x - 5)^2 - 2((c - 1)x - 5) = 2/3

Bước 5: Rút gọn và chuyển về dạng phương trình bậc hai:

x^2 - 2x + (c^2 - 2c + 1)x^2 - 10(c - 1)x + 25 - 10(c - 1) - 2cx + 10 = 2/3

(1 + c^2 - 2c + 1)x^2 + (-2 - 10(c - 1) - 2c)x + (25 - 10(c - 1) + 10 - 6/3) = 0

(c^2 - 2c + 2)x^2 + (-2 - 10c + 10)x + (35 - 10c - 2) = 0

Bước 6: Áp dụng công thức giải phương trình bậc hai:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

x = (-(2 + 10c - 10) ± √((2 + 10c - 10)^2 - 4(c^2 - 2c + 2)(35 - 10c - 2))) / (2(c^2 - 2c + 2))

x = (-8 - 10c ± √(100c^2 - 400c + 400 - 4c^2 + 8c - 8)) / (2(c^2 - 2c + 2))

x = (-8 - 10c ± √(96c^2 - 392c + 392)) / (2(c^2 - 2c + 2))

Bước 7: Tìm giá trị của y bằng cách thay x vào phương trình y = (c - 1)x - 5.

Sau khi thực hiện các bước trên, ta sẽ có các giá trị của x và y.