cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , góc SAB=góc SCB= 90 độ . AB= a , BC= 2a . Biết rằng góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng 60 độ . Thể tích khối chóp đã cho bằng?

Question

Accepted Answer

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC)
Ta có:
$\displaystyle \begin{cases}
BC\bot SC\ ( gt) & \
BC\bot SH( SH\bot ( ABC)) &
\end{cases} \Rightarrow BC\bot ( SCH) \Rightarrow BC\bot CH$
$\displaystyle \begin{cases}
AB\bot SA\ ( gt) & \
AB\bot SH\ ( SH\bot ( ABC)) &
\end{cases} \Rightarrow AB\bot ( SAH) \Rightarrow AB\bot AH$
$\displaystyle \Rightarrow ABCH$ là hình chữ nhật ( tứ giác có 3 góc vuông)
Vì $\displaystyle SH\bot ( ABC)$ nên HB là hình chiếu vuông góc của SB lên (ABC)
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{( SB;( ABC))} =\widehat{( SB;HB)} =\widehat{SBH} =60^{o}$
Ta có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
AC=\sqrt{AB^{2} +BC^{2}} =a\sqrt{5}\
BH=AC\ ( ABCH\ là\ hcn)
\end{array}$
Xét tam giác vuông SBH có $\displaystyle SH=BH. an 60^{o} =a\sqrt{15}$
$\displaystyle V_{S.ABC} =\frac{1}{3} .SH.S_{ABC} =\frac{1}{3} .SH.\frac{1}{2} .AB.BC=\frac{1}{3} .a\sqrt{15} .\frac{1}{2} .a.2a=\frac{a^{3}\sqrt{15}}{3}$