Chứng minh với số tự nhiên n lẻ thì 7^(2n-1) - 7 chia hết cho 600

Để chứng minh 7^(2n-1) - 7 chia hết cho 600 với số tự nhiên n lẻ, ta cần chứng minh rằng 7^(2n-1) - 7 chia hết cho 2, 3, 5 và 25 (vì 600 = 2^3 * 3 * 5^2). 1. Với mọi số tự nhiên n, 7^(2n-1) - 7 luôn chia hết cho 2 vì đều là số lẻ. 2. Theo định lý Fermat nhỏ, với mọi số nguyên a không chia hết cho số nguyên tố p, ta có a^(p-1) ≡ 1 (mod p). Do đó, 7^2 ≡ 1 (mod 3), nên 7^(2n-1) ≡ 1 (mod 3) với mọi số tự nhiên n. Từ đó suy ra 7^(2n-1) - 7 chia hết cho 3. 3. Tương tự, 7^4 ≡ 1 (mod 5), nên 7^(2n-1) ≡ 1 (mod 5) với mọi số tự nhiên n. Từ đó suy ra 7^(2n-1) - 7 chia hết cho 5. 4. Cuối cùng, để chứng minh 7^(2n-1) - 7 chia hết cho 25, ta sử dụng định lý Euler, cho biết a^φ(n) ≡ 1 (mod n) với mọi số nguyên a không chia hết cho n, trong đó φ là hàm Euler. Ta có φ(25) = 20, và 7^20 ≡ 1 (mod 25), nên 7^(2n-1) ≡ 1 (mod 25) với mọi số tự nhiên n. Từ đó suy ra 7^(2n-1) - 7 chia hết cho 25. Vậy, 7^(2n-1) - 7 chia hết cho 600 với mọi số tự nhiên n lẻ.