Cho biểu thức: (x3 − x − 2)^2022. Tính tổng S của các hệ số của x^(2k + 1) với k nguyên dương trong khai triển biểu thức trên.

Để tính tổng S của các hệ số của x^(2k + 1) trong khai triển biểu thức (x^3 − x − 2)^2022, ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton.

Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

(x + y)^n = C(n,0)x^n*y^0 + C(n,1)x^(n-1)y^1 + … + C(n,n)x^0y^n

Áp dụng công thức này vào biểu thức (x^3 − x − 2)^2022, ta có:

(x^3 − x − 2)^2022 = C(2022,0)(x^3)^2022*(-x)^0*(-2)^0 + C(2022,1)(x^3)^(2022-1)(-x)^1(-2)^1 + … + C(2022,2022)(x^3)^0*(-x)^(2022-0)*(-2)^(2022-0)

Ta chỉ quan tâm đến các hạng tử có mũ là 2k + 1, nên ta chỉ quan tâm đến các hạng tử có số mũ của x là 3*(2022 - k) và số mũ của -x là k. Hệ số của x^(2k + 1) trong khai triển sẽ là tổng các hệ số của các hạng tử này.

Tổng S của các hệ số của x^(2k + 1) sẽ là:

S = C(2022,1)(-1)^1(-2)^(2022-1) + C(2022,3)(-1)^3(-2)^(2022-3) + … + C(2022,2021)(-1)^(2021)(-2)^(2022-2021)

Bạn có thể tính giá trị của S bằng cách sử dụng công thức tổng quát của nhị thức Newton hoặc sử dụng các công thức đặc biệt như công thức tổng các hệ số của một dãy số hình thành bởi các hệ số nhị thức Newton.