Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D , AB=AD=a, CD=2a hình chiếu của đỉnh S lên mặt(ABCD) trùng với trung điểm BD. Biết thể tích S.ABCD bằng a3/căn 2 khoảng cách từ đỉnh A đến mặ...

Gọi O là trung điểm BD
Từ B kẻ BH vuông góc với CD
Suy ra ABHD là hình vuông
HB=AD=a
DH=a;HC=a
Suy ra tam giác HBC vuông cân tại H
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\widehat{DBC} =\widehat{DBH} +\widehat{HBC} =90^{o}\\
\Rightarrow BD\bot BC\\
SO\bot BC\\
\Rightarrow BC\bot ( SBD)\\
\Rightarrow BC\bot SB
\end{array}$
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
S_{ABCD} =\frac{AB+CD}{2} .AD=\frac{3}{2} a^{2}\\
V_{S.ABCD} =\frac{1}{3} .SO.S_{ABCD} =\frac{1}{3} .SO.\frac{3}{2} a^{2} =\frac{a^{3}}{\sqrt{2}}\\
\Rightarrow SO=a\sqrt{2}\\
BD=a\sqrt{2}\\
SB=\sqrt{SO^{2} +OB^{2}} =\frac{a\sqrt{10}}{2}\\
BC=a\sqrt{2}\\
S_{ABC} =S_{ABCD} -S_{DAC} =\frac{3}{2} a^{2} -\frac{1}{2} .a.2a=\frac{a^{2}}{2}\\
\frac{V_{S.ABCD}}{V_{S.ABC}} =\frac{S_{ABCD}}{S_{ABC}}\\
\Rightarrow V_{S.ABC} =\frac{S_{ABC}}{S_{ABCD}} .V_{S.ABCD} =\frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}\\
V_{A.SBC} =\frac{1}{3} .d( A;( SBC)) .S_{SBC}\\
\Rightarrow d( A;( SBC)) =\frac{3V_{A.SBC}}{S_{SBC}} =\frac{3.V_{S.ABC}}{\frac{1}{2} .SB.BC} =a\frac{\sqrt{10}}{5}
\end{array}$