2) Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH. Kẻ đường kính AD của đường tròn (O). Từ hai điểm B và C kẻ BE vuông góc với AD tại E, CF vuông góc với AD tại F. a) C...

Loại bài toán: Bài toán về hình học không gian, đặc biệt là về tam giác và đường tròn. Giải bài toán: a) Chứng minh tứ giác AHFC nội tiếp. Ta có: - Góc AHB = 90 độ (do AH là đường cao) - Góc ACB = 180 - góc ABC - góc BAC - Góc ACF = 90 độ (do CF vuông góc với AD) - Góc AHB + góc ACB = 90 + (180 - ABC - BAC) = 270 - (ABC + BAC) Vì tổng các góc của một tứ giác là 360 độ, nên ta có thể viết: góc AHB + góc ACB + góc AFC + góc HFC = 360 Thay các giá trị đã tính được vào phương trình trên, ta được: 270 - (ABC + BAC) + AFC + HFC = 360 Sắp xếp lại, ta được: AFC + HFC = ABC + BAC Do AFC và HFC cùng chung tia FC, nên AFC = ABC và HFC = BAC. Vậy tứ giác AHFC nội tiếp. b) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: HE // CD và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF. Đầu tiên, chúng ta chứng minh HE // CD. Ta có: - Góc AHB = 90 độ (do AH là đường cao) - Góc ACD = 90 độ (do CD là đường kính của đường tròn (O)) - Vì góc AHB = góc ACD, nên theo tính chất của tam giác vuông, ta có HE // CD Tiếp theo, chúng ta chứng minh I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF. Ta có: - Góc BIC = 90 + góc BAC/2 (theo tính chất của tam giác và trung điểm) - Góc BEC = 90 - góc BAC/2 (do BE vuông góc với AD) - Do góc BIC = góc BEC, nên BI = BE (theo tính chất của tam giác cân) Tương tự, ta cũng có CI = CF. Vậy I là trung điểm của BC và cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF.