Cho hình chóp S.ABCD có SA = 1 và SA vuông góc với (ABCD). Đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 1, BC = 2. M là trung điểm của cạnh BC (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa SB và DM bằng

Question

Diệu · Accepted Answer

Gọi N là trung điểm của AD
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow BN//MD\
\Rightarrow d( SB;DM) =d( DM;( SBN)) =d( D;( SBN)) =d( A;( SBN))(\frac{d( A;( SBN))}{AN} =\frac{d( D;( SBN))}{DN} ;AN=DN\Rightarrow d( D;( SBN)) =d( A;( SBN))
\end{array}$
Kẻ $\displaystyle AH\bot BN( H\in BN) ;AK\bot SH( K\in SH)$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
AH\bot BN\
SA\bot ( ABCD) \Rightarrow SA\bot BN\
\Rightarrow BN\bot ( SAH) \Rightarrow BN\bot AK\
AK\bot SH\
\Rightarrow AK\bot ( SBN)\
\Rightarrow d( A;( SBN)) =AK\
\frac{1}{AH^{2}} =\frac{1}{AB^{2}} +\frac{1}{AN^{2}}\
\frac{1}{AK^{2}} =\frac{1}{SA^{2}} +\frac{1}{AH^{2}} =\frac{1}{SA^{2}} +\frac{1}{AB^{2}} +\frac{4}{AD^{2}}\
\Rightarrow AK=\frac{1}{\sqrt{3}} =d( SB;DM)
\end{array}$

Timi · Answer

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SB và DM, ta có thể sử dụng phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách dựng đoạn vuông góc chung.

Bước 1: Dựng mặt phẳng (α) chứa DM và song song với SB.

Bước 2: Dựng hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng (α), đó chính là hình chiếu vuông góc của SB lên DM.

Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DM bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên SB đến mặt phẳng (α).

Để thực hiện được các bước trên, ta cần xác định được mặt phẳng (α) và hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng (α).

Mặt phẳng (α) chứa DM và song song với SB, nên (α) chứa DM và đi qua trung điểm I của SA.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD), suy ra H là hình chiếu vuông góc của S lên AB. Vì SA vuông góc với (ABCD), nên H ∈ AB và SH ⊥ AB.

Ta có: SH = SA = 1, AH = AB/2 = 1/2.

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông SHA, ta có:

SH^2 + AH^2 = SA^2 => SH^2 = SA^2 - AH^2 = 1 - (1/2)^2 = 3/4 => SH = √(3/4) = √3/2.

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên DM, suy ra HK là đoạn vuông góc chung của SB và DM.

Ta có: HK = d(SB, DM).

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, ta có:

d(SB, DM) = d(H, (α)) = HK = SH.sin∠SHK.

Ta cần tính sin∠SHK.

Tam giác SHK vuông tại K, nên sin∠SHK = HK/SH.

Tam giác SHK vuông tại K, nên theo định lý Pytago, ta có:

SK^2 = SH^2 + HK^2 => HK^2 = SK^2 - SH^2.

Ta có: SK = SA + AK = 1 + 1/2 = 3/2.

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông SHK, ta có:

SK^2 = SH^2 + HK^2 => HK^2 = SK^2 - SH^2 = (3/2)^2 - (√3/2)^2 = 9/4 - 3/4 = 6/4 = 3/2 => HK = √(3/2).

Vậy d(SB, DM) = HK = √(3/2).