tính đạo hàm phân thức

Để tính đạo hàm của phân thức \( y = \frac{2x^2 - 3x - 5}{x + 2} \), ta sẽ sử dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số. Công thức này được viết dưới dạng: \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Trong đó, \( u = 2x^2 - 3x - 5 \) và \( v = x + 2 \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( u \) và \( v \): \[ u' = (2x^2 - 3x - 5)' = 4x - 3 \] \[ v' = (x + 2)' = 1 \] Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \left( \frac{2x^2 - 3x - 5}{x + 2} \right)' = \frac{(4x - 3)(x + 2) - (2x^2 - 3x - 5)(1)}{(x + 2)^2} \] Bước 3: Thực hiện phép nhân và trừ trong tử số: \[ (4x - 3)(x + 2) = 4x^2 + 8x - 3x - 6 = 4x^2 + 5x - 6 \] \[ (2x^2 - 3x - 5)(1) = 2x^2 - 3x - 5 \] Tử số của đạo hàm là: \[ 4x^2 + 5x - 6 - (2x^2 - 3x - 5) = 4x^2 + 5x - 6 - 2x^2 + 3x + 5 = 2x^2 + 8x - 1 \] Bước 4: Viết kết quả cuối cùng: \[ y' = \frac{2x^2 + 8x - 1}{(x + 2)^2} \] Vậy đạo hàm của \( y = \frac{2x^2 - 3x - 5}{x + 2} \) là: \[ y' = \frac{2x^2 + 8x - 1}{(x + 2)^2} \]