toán 12 huhu Câu 6,Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tâm sản suất mỗi ngày,được x mét vải lụa $(1\leq x\leq18).$ Tổng chi phí sản xuất,x mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí:,$C(x)=x^3-3x^2-20x+500.$,Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày,với giá 220 nghìn đồng/mét. Gọi $L(x)$ là lợi nhuận thu,được khi bán x mét vải lụa. Hỏi lợi nhuận tối đa của hộ,làm nghề dệt vải lụa tơ tằm trong một ngày?,Nhập đáp án,Đáp án của bạn

Question

Accepted Answer

Để tìm lợi nhuận tối đa của hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm trong một ngày, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm hàm doanh thu:
Doanh thu từ việc bán x mét vải lụa là:
$$ R(x) = 220x $$

2. Tìm hàm lợi nhuận:
Lợi nhuận $ L(x) $ là hiệu giữa doanh thu và chi phí:
$$ L(x) = R(x) - C(x) $$
$$ L(x) = 220x - (x^3 - 3x^2 - 20x + 500) $$
$$ L(x) = 220x - x^3 + 3x^2 + 20x - 500 $$
$$ L(x) = -x^3 + 3x^2 + 240x - 500 $$

3. Tìm điểm cực đại của hàm lợi nhuận:
Để tìm điểm cực đại của hàm $ L(x) $, chúng ta cần tính đạo hàm của $ L(x) $ và tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0:
$$ L'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x^2 + 240x - 500) $$
$$ L'(x) = -3x^2 + 6x + 240 $$

Bây giờ, chúng ta giải phương trình $ L'(x) = 0 $:
$$ -3x^2 + 6x + 240 = 0 $$
$$ x^2 - 2x - 80 = 0 $$

Phương trình này có thể được giải bằng phương pháp phân tích:
$$ (x - 10)(x + 8) = 0 $$

Vậy, các nghiệm là:
$$ x = 10 \quad \text{hoặc} \quad x = -8 $$

Vì $ x $ phải nằm trong khoảng $ [1, 18] $, chúng ta chỉ quan tâm đến nghiệm $ x = 10 $.

4. Kiểm tra tính chất của điểm cực đại:
Chúng ta kiểm tra đạo hàm thứ hai để xác định tính chất của điểm cực đại:
$$ L''(x) = \frac{d}{dx}(-3x^2 + 6x + 240) $$
$$ L''(x) = -6x + 6 $$

Tại $ x = 10 $:
$$ L''(10) = -6(10) + 6 = -60 + 6 = -54 $$

Vì $ L''(10) < 0 $, điểm $ x = 10 $ là điểm cực đại.

5. Tính lợi nhuận tại điểm cực đại:
$$ L(10) = -(10)^3 + 3(10)^2 + 240(10) - 500 $$
$$ L(10) = -1000 + 300 + 2400 - 500 $$
$$ L(10) = 1200 $$

Vậy, lợi nhuận tối đa của hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm trong một ngày là:
$$ \boxed{1200} $$