giúp em vs ạ

Câu 5: Để tìm thời điểm và độ cao lớn nhất của vật, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( h(t) \): \[ h'(t) = \frac{d}{dt}(-t^3 + 18t^2 + 2t + 3) = -3t^2 + 36t + 2 \] 2. Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ -3t^2 + 36t + 2 = 0 \] Chia cả hai vế cho -3: \[ t^2 - 12t - \frac{2}{3} = 0 \] 3. Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 1 \), \( b = -12 \), \( c = -\frac{2}{3} \): \[ t = \frac{12 \pm \sqrt{144 + \frac{8}{3}}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{\frac{432 + 8}{3}}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{\frac{440}{3}}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{146.67}}{2} \] \[ t = \frac{12 \pm 12.11}{2} \] \[ t_1 = \frac{12 + 12.11}{2} = 12.055 \] \[ t_2 = \frac{12 - 12.11}{2} = -0.055 \] (loại vì thời gian không thể âm) 4. Kiểm tra tính chất của các điểm cực trị: - Ta kiểm tra đạo hàm ở các khoảng xung quanh \( t = 12.055 \): - \( h''(t) = \frac{d}{dt}(-3t^2 + 36t + 2) = -6t + 36 \) - \( h''(12.055) = -6 \times 12.055 + 36 = -72.33 + 36 = -36.33 < 0 \) Do đó, \( t = 12.055 \) là điểm cực đại. 5. Tính độ cao lớn nhất tại \( t = 12.055 \): \[ h(12.055) = -(12.055)^3 + 18(12.055)^2 + 2(12.055) + 3 \] \[ h(12.055) = -1749.99 + 2600.01 + 24.11 + 3 \] \[ h(12.055) = 877.13 \text{ m} \] Kết luận: Vật đạt độ cao lớn nhất sau khoảng 12.055 giây và độ cao lớn nhất là 877.13 mét. Câu 6: Để tìm giá trị của \( x \) sao cho thể tích của hộp lớn nhất, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định kích thước của hộp: - Khi cắt bốn góc của tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm, mỗi góc là một hình vuông cạnh \( x \) cm. - Sau khi cắt, phần còn lại của tấm nhôm sẽ tạo thành một hộp không nắp với chiều dài và chiều rộng là \( 12 - 2x \) cm, chiều cao là \( x \) cm. 2. Lập biểu thức thể tích của hộp: - Thể tích \( V \) của hộp được tính bằng công thức: \[ V = \text{chiều dài} \times \text{chiều rộng} \times \text{chiều cao} \] - Thay các giá trị vào công thức: \[ V = (12 - 2x)(12 - 2x)x \] - Rút gọn biểu thức: \[ V = (12 - 2x)^2 x \] 3. Tìm giá trị của \( x \) để thể tích lớn nhất: - Để tìm giá trị của \( x \) làm cho thể tích lớn nhất, chúng ta sẽ sử dụng đạo hàm. - Gọi \( f(x) = (12 - 2x)^2 x \). 4. Tính đạo hàm của \( f(x) \): - Áp dụng quy tắc đạo hàm: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}[(12 - 2x)^2 x] \] - Sử dụng quy tắc sản phẩm và chuỗi: \[ f'(x) = (12 - 2x)^2 + x \cdot 2(12 - 2x)(-2) \] \[ f'(x) = (12 - 2x)^2 - 4x(12 - 2x) \] \[ f'(x) = (12 - 2x)(12 - 2x - 4x) \] \[ f'(x) = (12 - 2x)(12 - 6x) \] 5. Tìm điểm cực đại: - Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực đại: \[ (12 - 2x)(12 - 6x) = 0 \] - Giải phương trình: \[ 12 - 2x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 12 - 6x = 0 \] \[ x = 6 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] 6. Kiểm tra điều kiện: - Vì \( x \) là cạnh của hình vuông cắt đi từ mỗi góc, nên \( x \) phải thỏa mãn \( 0 < x < 6 \) (để đảm bảo phần còn lại của tấm nhôm vẫn đủ lớn để tạo thành hộp). 7. So sánh các giá trị: - Ta thấy \( x = 2 \) nằm trong khoảng \( 0 < x < 6 \), do đó \( x = 2 \) là giá trị tối ưu. Vậy, giá trị của \( x \) để hộp nhận được có thể tích lớn nhất là \( x = 2 \) cm.