Tính nguyên hàm $=\ln|x+1|-3.\ln|x+4|+c$,$b)~\int\frac{2x^3+x^2+2x+1}{x+3}dx$

Question

Accepted Answer

Để tính nguyên hàm của các biểu thức đã cho, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

a) Tính nguyên hàm $\int \left( \frac{1}{x+1} - \frac{3}{x+4} \right) dx$

Bước 1: Tách nguyên hàm thành hai phần riêng biệt:
$$ \int \left( \frac{1}{x+1} - \frac{3}{x+4} \right) dx = \int \frac{1}{x+1} dx - \int \frac{3}{x+4} dx $$

Bước 2: Tính từng nguyên hàm riêng lẻ:
$$ \int \frac{1}{x+1} dx = \ln |x+1| + C_1 $$
$$ \int \frac{3}{x+4} dx = 3 \int \frac{1}{x+4} dx = 3 \ln |x+4| + C_2 $$

Bước 3: Kết hợp lại:
$$ \int \left( \frac{1}{x+1} - \frac{3}{x+4} \right) dx = \ln |x+1| - 3 \ln |x+4| + C $$

Vậy, nguyên hàm là:
$$ \ln |x+1| - 3 \ln |x+4| + C $$

b) Tính nguyên hàm $\int \frac{2x^3 + x^2 + 2x + 1}{x+3} dx$

Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức để đơn giản hóa biểu thức:
$$ \frac{2x^3 + x^2 + 2x + 1}{x+3} $$

Thực hiện phép chia:
$$ 2x^3 + x^2 + 2x + 1 = (x+3)(2x^2 - 5x + 17) - 50 $$

Do đó:
$$ \frac{2x^3 + x^2 + 2x + 1}{x+3} = 2x^2 - 5x + 17 - \frac{50}{x+3} $$

Bước 2: Tính nguyên hàm từng phần:
$$ \int \left( 2x^2 - 5x + 17 - \frac{50}{x+3} \right) dx $$

Bước 3: Tính từng nguyên hàm riêng lẻ:
$$ \int 2x^2 dx = \frac{2x^3}{3} + C_1 $$
$$ \int -5x dx = -\frac{5x^2}{2} + C_2 $$
$$ \int 17 dx = 17x + C_3 $$
$$ \int -\frac{50}{x+3} dx = -50 \ln |x+3| + C_4 $$

Bước 4: Kết hợp lại:
$$ \int \left( 2x^2 - 5x + 17 - \frac{50}{x+3} \right) dx = \frac{2x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 17x - 50 \ln |x+3| + C $$

Vậy, nguyên hàm là:
$$ \frac{2x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 17x - 50 \ln |x+3| + C $$