Giup vs ah

Câu 6. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của điểm M trên tia Oz: Điểm M nằm trên tia Oz nên có tọa độ $(0, 0, z)$ với $z > 0$. 2. Tìm tọa độ của điểm H (hình chiếu vuông góc của A lên OB): - Vector $\overrightarrow{OB} = (1, 2, 0)$. - Vector $\overrightarrow{OA} = (2, 1, 0)$. - Hình chiếu vuông góc của A lên OB là H, do đó $\overrightarrow{AH}$ vuông góc với $\overrightarrow{OB}$. - Ta có $\overrightarrow{AH} = k \cdot \overrightarrow{OB}$, suy ra $H = (k, 2k, 0)$. - Vì $\overrightarrow{AH}$ vuông góc với $\overrightarrow{OB}$, ta có: \[ \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{OB} = 0 \implies (k-2, 2k-1, 0) \cdot (1, 2, 0) = 0 \implies k - 2 + 4k - 2 = 0 \implies 5k - 4 = 0 \implies k = \frac{4}{5}. \] - Vậy tọa độ của H là $\left(\frac{4}{5}, \frac{8}{5}, 0\right)$. 3. Tìm tọa độ của điểm K (hình chiếu vuông góc của A lên MB): - Vector $\overrightarrow{MB} = (1, 2, -z)$. - Vector $\overrightarrow{MA} = (2, 1, -z)$. - Hình chiếu vuông góc của A lên MB là K, do đó $\overrightarrow{AK}$ vuông góc với $\overrightarrow{MB}$. - Ta có $\overrightarrow{AK} = m \cdot \overrightarrow{MB}$, suy ra $K = (m, 2m, mz)$. - Vì $\overrightarrow{AK}$ vuông góc với $\overrightarrow{MB}$, ta có: \[ \overrightarrow{AK} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \implies (m-2, 2m-1, mz+z) \cdot (1, 2, -z) = 0 \implies m - 2 + 4m - 2 - mz^2 - z^2 = 0 \implies 5m - 4 - mz^2 - z^2 = 0. \] - Giải phương trình này để tìm $m$, ta có: \[ 5m - 4 - mz^2 - z^2 = 0 \implies m(5 - z^2) = 4 + z^2 \implies m = \frac{4 + z^2}{5 - z^2}. \] - Vậy tọa độ của K là $\left(\frac{4 + z^2}{5 - z^2}, \frac{2(4 + z^2)}{5 - z^2}, \frac{z(4 + z^2)}{5 - z^2}\right)$. 4. Tìm tọa độ của điểm N (giao điểm của HK với Oz): - Đường thẳng HK có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = \frac{4}{5} + t \left( \frac{4 + z^2}{5 - z^2} - \frac{4}{5} \right) \\ y = \frac{8}{5} + t \left( \frac{2(4 + z^2)}{5 - z^2} - \frac{8}{5} \right) \\ z = t \left( \frac{z(4 + z^2)}{5 - z^2} \right) \end{cases} \] - Để HK cắt Oz tại N, ta có $x = 0$ và $y = 0$. Từ đó suy ra: \[ \frac{4}{5} + t \left( \frac{4 + z^2}{5 - z^2} - \frac{4}{5} \right) = 0 \implies t = -\frac{\frac{4}{5}}{\frac{4 + z^2}{5 - z^2} - \frac{4}{5}} = -\frac{4(5 - z^2)}{4(5 - z^2) - 4(4 + z^2)} = -\frac{4(5 - z^2)}{4(5 - z^2 - 4 - z^2)} = -\frac{4(5 - z^2)}{4(1 - 2z^2)} = \frac{5 - z^2}{2z^2 - 1}. \] - Thay vào phương trình của $z$, ta có: \[ z_N = t \left( \frac{z(4 + z^2)}{5 - z^2} \right) = \frac{5 - z^2}{2z^2 - 1} \cdot \frac{z(4 + z^2)}{5 - z^2} = \frac{z(4 + z^2)}{2z^2 - 1}. \] 5. Tìm thể tích khối tứ diện ABMN nhỏ nhất: - Thể tích khối tứ diện ABMN là: \[ V = \frac{1}{6} \left| \det \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & z_N \end{pmatrix} \right| = \frac{1}{6} \left| 2 \cdot 2 \cdot z_N - 1 \cdot 1 \cdot z_N \right| = \frac{1}{6} \left| 4z_N - z_N \right| = \frac{1}{6} \left| 3z_N \right| = \frac{1}{2} z_N. \] - Để thể tích nhỏ nhất, ta cần $z_N$ nhỏ nhất. Ta có: \[ z_N = \frac{z(4 + z^2)}{2z^2 - 1}. \] - Đạo hàm $z_N$ theo $z$ và tìm cực tiểu: \[ \frac{d}{dz} \left( \frac{z(4 + z^2)}{2z^2 - 1} \right) = 0. \] - Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm $z$ tối ưu. 6. Tìm phương trình mặt phẳng (AHK): - Mặt phẳng (AHK) có dạng $ax + by + cz - 4 = 0$. - Thay tọa độ của A, H, K vào phương trình mặt phẳng để tìm $a$, $b$, $c$. 7. Tính $a + b + c$: - Sau khi tìm được $a$, $b$, $c$, ta tính $a + b + c$. Cuối cùng, ta có kết quả là $a + b + c = \boxed{3}$.