Cac cau oi

Câu 43. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} - \overrightarrow{k}$, ta thực hiện phép cộng và trừ các thành phần tương ứng của các vectơ cơ bản $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ và $\overrightarrow{k}$. - Vectơ $\overrightarrow{i}$ có tọa độ là $(1, 0, 0)$. - Vectơ $\overrightarrow{j}$ có tọa độ là $(0, 1, 0)$. - Vectơ $\overrightarrow{k}$ có tọa độ là $(0, 0, 1)$. Ta thực hiện phép tính: \[ \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} - \overrightarrow{k} = (1, 0, 0) + (0, 1, 0) - (0, 0, 1) \] Cộng và trừ từng thành phần: \[ (1 + 0 - 0, 0 + 1 - 0, 0 + 0 - 1) = (1, 1, -1) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} - \overrightarrow{k}$ là $(1, 1, -1)$. Do đó, đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} - \overrightarrow{k} = (1, 1, -1)$. Câu 44. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính $2\overrightarrow{a}$: \[ 2\overrightarrow{a} = 2 \cdot (1; 2; 1) = (2 \cdot 1; 2 \cdot 2; 2 \cdot 1) = (2; 4; 2) \] Bước 2: Cộng tọa độ của $2\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (2; 4; 2) + (-1; 3; 0) = (2 + (-1); 4 + 3; 2 + 0) = (1; 7; 2) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{c}$ là $(1; 7; 2)$. Do đó, đáp án đúng là: A. $(1; 7; 2)$. Câu 45. Để tìm giá trị của \( |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}| \), chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tổng của ba vectơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), và \(\overrightarrow{c}\). \[ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = (-2; 2; 0) + (2; 2; 0) + (2; 2; 2) \] Bước 2: Cộng từng thành phần của các vectơ lại với nhau. \[ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = (-2 + 2 + 2; 2 + 2 + 2; 0 + 0 + 2) = (2; 6; 2) \] Bước 3: Tính độ dài của vectơ kết quả. \[ |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}| = \sqrt{(2)^2 + (6)^2 + (2)^2} \] Bước 4: Thực hiện phép tính trong căn bậc hai. \[ |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}| = \sqrt{4 + 36 + 4} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11} \] Vậy giá trị của \( |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}| \) là \( 2\sqrt{11} \). Đáp án đúng là: C. \( 2\sqrt{11} \). Câu 46. Để hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng, ta cần tìm các số thực $k$ sao cho $\overrightarrow{a} = k \cdot \overrightarrow{b}$. Điều này dẫn đến hệ phương trình sau: \[ \begin{cases} 2 = k \cdot 1 \\ m - 1 = k \cdot 3 \\ 3 = k \cdot (-2n) \end{cases} \] Từ phương trình đầu tiên, ta có: \[ k = 2 \] Thay $k = 2$ vào phương trình thứ hai: \[ m - 1 = 2 \cdot 3 \\ m - 1 = 6 \\ m = 7 \] Thay $k = 2$ vào phương trình thứ ba: \[ 3 = 2 \cdot (-2n) \\ 3 = -4n \\ n = -\frac{3}{4} \] Vậy, ta tìm được $m = 7$ và $n = -\frac{3}{4}$. Do đó, đáp án đúng là: A. $m = 7; n = -\frac{3}{4}$. Câu 47. Để tìm giá trị của \( m \) sao cho \( |\overrightarrow{u}| = |\overrightarrow{v}| \), ta làm như sau: 1. Tính độ dài của véc tơ \(\overrightarrow{u}\): \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{(2)^2 + (-2)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \] 2. Tính độ dài của véc tơ \(\overrightarrow{v}\): \[ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{m^2 + 2^2 + (m+1)^2} = \sqrt{m^2 + 4 + (m^2 + 2m + 1)} = \sqrt{2m^2 + 2m + 5} \] 3. Đặt điều kiện \( |\overrightarrow{u}| = |\overrightarrow{v}| \): \[ 3 = \sqrt{2m^2 + 2m + 5} \] 4. Bình phương cả hai vế: \[ 9 = 2m^2 + 2m + 5 \] 5. Chuyển tất cả về một vế: \[ 2m^2 + 2m + 5 - 9 = 0 \] \[ 2m^2 + 2m - 4 = 0 \] 6. Chia cả phương trình cho 2: \[ m^2 + m - 2 = 0 \] 7. Giải phương trình bậc hai: \[ m^2 + m - 2 = 0 \] \[ (m + 2)(m - 1) = 0 \] 8. Tìm nghiệm: \[ m + 2 = 0 \Rightarrow m = -2 \] \[ m - 1 = 0 \Rightarrow m = 1 \] Vậy có 2 giá trị của \( m \) thỏa mãn điều kiện \( |\overrightarrow{u}| = |\overrightarrow{v}| \). Đáp án đúng là: C. 2. Câu 48. Để hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương, ta cần tìm các số thực $k$ sao cho: \[ \overrightarrow{a} = k \cdot \overrightarrow{b} \] Từ đó ta có: \[ (2; m-1; 3) = k \cdot (1; 3; -2n) \] Bằng cách so sánh từng thành phần, ta có: \[ 2 = k \cdot 1 \] \[ m - 1 = k \cdot 3 \] \[ 3 = k \cdot (-2n) \] Từ phương trình đầu tiên: \[ k = 2 \] Thay $k = 2$ vào phương trình thứ hai: \[ m - 1 = 2 \cdot 3 \] \[ m - 1 = 6 \] \[ m = 7 \] Thay $k = 2$ vào phương trình thứ ba: \[ 3 = 2 \cdot (-2n) \] \[ 3 = -4n \] \[ n = -\frac{3}{4} \] Vậy, ta tìm được $m = 7$ và $n = -\frac{3}{4}$. Đáp án đúng là: A. $m = 7; n = -\frac{3}{4}$. Câu 49. Để ba điểm \( A(-1, 2, -3) \), \( B(1, 0, 2) \), và \( C(x, y, -2) \) thẳng hàng, vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và vectơ \( \overrightarrow{AC} \) phải cùng phương. Ta sẽ tính hai vectơ này và tìm điều kiện để chúng cùng phương. 1. Tính vectơ \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - (-1), 0 - 2, 2 - (-3)) = (2, -2, 5) \] 2. Tính vectơ \( \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (x - (-1), y - 2, -2 - (-3)) = (x + 1, y - 2, 1) \] 3. Để \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \) cùng phương, tồn tại số thực \( k \) sao cho: \[ \overrightarrow{AC} = k \cdot \overrightarrow{AB} \] \[ (x + 1, y - 2, 1) = k \cdot (2, -2, 5) \] 4. Từ đây ta có hệ phương trình: \[ x + 1 = 2k \quad (1) \] \[ y - 2 = -2k \quad (2) \] \[ 1 = 5k \quad (3) \] 5. Giải phương trình (3) để tìm \( k \): \[ k = \frac{1}{5} \] 6. Thay \( k = \frac{1}{5} \) vào phương trình (1) và (2): \[ x + 1 = 2 \cdot \frac{1}{5} \Rightarrow x + 1 = \frac{2}{5} \Rightarrow x = \frac{2}{5} - 1 = \frac{2}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{3}{5} \] \[ y - 2 = -2 \cdot \frac{1}{5} \Rightarrow y - 2 = -\frac{2}{5} \Rightarrow y = -\frac{2}{5} + 2 = -\frac{2}{5} + \frac{10}{5} = \frac{8}{5} \] 7. Tính \( x + y \): \[ x + y = -\frac{3}{5} + \frac{8}{5} = \frac{-3 + 8}{5} = \frac{5}{5} = 1 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{A. \ x + y = 1} \] Câu 50. Để ba điểm \(A\), \(B\), và \(M\) thẳng hàng, vectơ \(AB\) và vectơ \(AM\) phải cùng phương. Ta sẽ tính vectơ \(AB\) và vectơ \(AM\) rồi so sánh chúng. 1. Tính vectơ \(AB\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (5-2, -5+1, 7-5) = (3, -4, 2) \] 2. Tính vectơ \(AM\): \[ \overrightarrow{AM} = M - A = (x-2, y+1, 1-5) = (x-2, y+1, -4) \] 3. Để hai vectơ cùng phương, ta có: \[ \overrightarrow{AM} = k \cdot \overrightarrow{AB} \] \[ (x-2, y+1, -4) = k \cdot (3, -4, 2) \] Từ đây, ta có hệ phương trình: \[ x - 2 = 3k \quad (1) \] \[ y + 1 = -4k \quad (2) \] \[ -4 = 2k \quad (3) \] Giải phương trình (3) để tìm \(k\): \[ -4 = 2k \implies k = -2 \] Thay \(k = -2\) vào phương trình (1) và (2): \[ x - 2 = 3(-2) \implies x - 2 = -6 \implies x = -4 \] \[ y + 1 = -4(-2) \implies y + 1 = 8 \implies y = 7 \] Vậy giá trị của \(x\) và \(y\) là: \[ x = -4, \quad y = 7 \] Đáp án đúng là: D. \(x = -4; y = 7\). Câu 51. Để tìm tọa độ điểm \( M \) thuộc mặt phẳng \( (Oxy) \) sao cho ba điểm \( A \), \( B \), và \( M \) thẳng hàng, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ điểm \( M \): Vì \( M \) thuộc mặt phẳng \( (Oxy) \), tọa độ của \( M \) sẽ có dạng \( M(x; y; 0) \). 2. Tìm vectơ \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 2; 1 + 2; 2 - 1) = (-2; 3; 1) \] 3. Tìm vectơ \( \overrightarrow{AM} \): \[ \overrightarrow{AM} = M - A = (x - 2; y + 2; 0 - 1) = (x - 2; y + 2; -1) \] 4. Điều kiện để ba điểm \( A \), \( B \), và \( M \) thẳng hàng: Ba điểm thẳng hàng khi và chỉ khi vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và vectơ \( \overrightarrow{AM} \) cùng phương, tức là tồn tại số thực \( k \) sao cho: \[ \overrightarrow{AM} = k \cdot \overrightarrow{AB} \] Điều này dẫn đến hệ phương trình: \[ \begin{cases} x - 2 = -2k \\ y + 2 = 3k \\ -1 = k \end{cases} \] 5. Giải hệ phương trình: Từ phương trình thứ ba, ta có: \[ k = -1 \] Thay \( k = -1 \) vào hai phương trình còn lại: \[ \begin{cases} x - 2 = -2(-1) \\ y + 2 = 3(-1) \end{cases} \] \[ \begin{cases} x - 2 = 2 \\ y + 2 = -3 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x = 4 \\ y = -5 \end{cases} \] 6. Kết luận: Tọa độ điểm \( M \) là \( M(4; -5; 0) \). Do đó, đáp án đúng là: A. \( M(4; -5; 0) \). Câu 52. A. Ta tính $\overrightarrow a + \overrightarrow b$: \[ \overrightarrow a + \overrightarrow b = (2 + 1, -2 + (-1), -4 + 1) = (3, -3, -3) \] Vậy A đúng. B. Ta kiểm tra xem $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ có cùng phương hay không: \[ \overrightarrow a = (2, -2, -4), \quad \overrightarrow b = (1, -1, 1) \] Ta thấy rằng $\overrightarrow a$ không phải là bội của $\overrightarrow b$, vì không tồn tại số thực $k$ sao cho $(2, -2, -4) = k(1, -1, 1)$. Vậy B sai. C. Ta tính độ dài của $\overrightarrow b$: \[ |\overrightarrow b| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \] Vậy C đúng. D. Ta viết $\overrightarrow a$ dưới dạng tổng các thành phần: \[ \overrightarrow a = 2\overrightarrow i - 2\overrightarrow j - 4\overrightarrow k \] Vậy D đúng. Kết luận: Các phát biểu đúng là A, C và D. Câu 53. Để kiểm tra xem trong các phương án A, B, C, phương án nào đúng, ta sẽ lần lượt tính toán các biểu thức đại lượng vectơ đã cho và so sánh với \(\overrightarrow{x}\). A. \(\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}\) Tính \(2\overrightarrow{a}\): \[2\overrightarrow{a} = 2(2; 3; 1) = (4; 6; 2)\] Tính \(-3\overrightarrow{b}\): \[-3\overrightarrow{b} = -3(-1; 5; 2) = (3; -15; -6)\] Tính \(-\overrightarrow{c}\): \[-\overrightarrow{c} = -(4; -1; 3) = (-4; 1; -3)\] Cộng lại: \[2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} = (4; 6; 2) + (3; -15; -6) + (-4; 1; -3) = (4 + 3 - 4; 6 - 15 + 1; 2 - 6 - 3) = (3; -8; -7)\] So sánh với \(\overrightarrow{x} = (-3; 22; 5)\): \[ (3; -8; -7) \neq (-3; 22; 5) \] Phương án A sai. B. \(\overrightarrow{x} = -2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\) Tính \(-2\overrightarrow{a}\): \[-2\overrightarrow{a} = -2(2; 3; 1) = (-4; -6; -2)\] Tính \(3\overrightarrow{b}\): \[3\overrightarrow{b} = 3(-1; 5; 2) = (-3; 15; 6)\] Tính \(\overrightarrow{c}\): \[\overrightarrow{c} = (4; -1; 3)\] Cộng lại: \[-2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = (-4; -6; -2) + (-3; 15; 6) + (4; -1; 3) = (-4 - 3 + 4; -6 + 15 - 1; -2 + 6 + 3) = (-3; 8; 7)\] So sánh với \(\overrightarrow{x} = (-3; 22; 5)\): \[ (-3; 8; 7) \neq (-3; 22; 5) \] Phương án B sai. C. \(\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}\) Tính \(2\overrightarrow{a}\): \[2\overrightarrow{a} = 2(2; 3; 1) = (4; 6; 2)\] Tính \(3\overrightarrow{b}\): \[3\overrightarrow{b} = 3(-1; 5; 2) = (-3; 15; 6)\] Tính \(-\overrightarrow{c}\): \[-\overrightarrow{c} = -(4; -1; 3) = (-4; 1; -3)\] Cộng lại: \[2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} = (4; 6; 2) + (-3; 15; 6) + (-4; 1; -3) = (4 - 3 - 4; 6 + 15 + 1; 2 + 6 - 3) = (-3; 22; 5)\] So sánh với \(\overrightarrow{x} = (-3; 22; 5)\): \[ (-3; 22; 5) = (-3; 22; 5) \] Phương án C đúng. Vậy đáp án đúng là: C. \(\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}\)