giúp mình với ạ

Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta cần biết rằng số đo của một cung tròn có thể được tính bằng cách nhân số đo của nó với 180 và chia cho π (pi). Bước 1: Xác định số đo của cung tròn. Số đo của cung tròn là x. Bước 2: Áp dụng công thức để chuyển đổi từ radian sang độ. Số đo theo đơn vị độ của cung tròn là: \[ x \times \frac{180}{\pi} \] Bước 3: Kiểm tra các đáp án đã cho để xác định giá trị cụ thể của x. A. \( 30^\circ \) B. \( 45^\circ \) C. \( 90^\circ \) D. \( 180^\circ \) Chúng ta cần tìm giá trị của x sao cho khi nhân với \(\frac{180}{\pi}\) sẽ cho kết quả là một trong các đáp án trên. - Nếu \( x = \frac{\pi}{6} \): \[ \frac{\pi}{6} \times \frac{180}{\pi} = 30^\circ \] Đáp án đúng là A. - Nếu \( x = \frac{\pi}{4} \): \[ \frac{\pi}{4} \times \frac{180}{\pi} = 45^\circ \] Đáp án đúng là B. - Nếu \( x = \frac{\pi}{2} \): \[ \frac{\pi}{2} \times \frac{180}{\pi} = 90^\circ \] Đáp án đúng là C. - Nếu \( x = \pi \): \[ \pi \times \frac{180}{\pi} = 180^\circ \] Đáp án đúng là D. Từ đó, chúng ta thấy rằng tùy thuộc vào giá trị của x, chúng ta có thể chọn một trong các đáp án A, B, C hoặc D. Vậy, số đo theo đơn vị độ của cung tròn đó có thể là: A. \( 30^\circ \) B. \( 45^\circ \) C. \( 90^\circ \) D. \( 180^\circ \) Đáp án cuối cùng phụ thuộc vào giá trị cụ thể của x. Câu 2. Để tính $\sin 2\alpha$, ta sử dụng công thức nhân đôi: \[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \] Trước tiên, ta đã biết: \[ \cos \alpha = \frac{1}{2}, \quad \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Bây giờ, thay các giá trị này vào công thức nhân đôi: \[ \sin 2\alpha = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \left( \frac{1}{2} \right) \] Thực hiện phép nhân: \[ \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Vậy, giá trị của $\sin 2\alpha$ là: \[ \sin 2\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Do đó, đáp án đúng là: C. $\sin 2\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Câu 3. Để tính $\sin 2\alpha$, ta sử dụng công thức: \[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \] Trước tiên, ta đã biết: \[ \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \sin \alpha = -\frac{1}{2} \] Bây giờ, thay các giá trị này vào công thức: \[ \sin 2\alpha = 2 \left( -\frac{1}{2} \right) \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \] Tính toán tiếp: \[ \sin 2\alpha = 2 \times \left( -\frac{1}{2} \right) \times \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \sin 2\alpha = -1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \sin 2\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Vậy đáp án đúng là: A. $\sin 2\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Câu 4. Hàm số $y = \cos x$ là một hàm số tuần hoàn, nghĩa là nó lặp lại các giá trị của mình sau mỗi khoảng thời gian cố định gọi là chu kỳ. Chu kỳ của hàm số $y = \cos x$ là $2\pi$. Điều này có nghĩa là: \[ \cos(x + 2\pi) = \cos x \] Do đó, hàm số $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$. Vậy đáp án đúng là: B. $T = 2\pi$ Đáp số: B. $T = 2\pi$ Câu 5. Phương trình $\cos x = -\frac{1}{2}$ có nghiệm là các giá trị của $x$ sao cho $\cos x$ bằng $-\frac{1}{2}$. Bước 1: Xác định các giá trị của $x$ trong khoảng $[0, 2\pi]$ sao cho $\cos x = -\frac{1}{2}$. Ta biết rằng: - $\cos \left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$ - $\cos \left(2\pi - \frac{2\pi}{3}\right) = \cos \left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$ Bước 2: Xác định các giá trị của $x$ trong khoảng $[0, 2\pi]$ sao cho $\cos x = -\frac{1}{2}$. Do tính chất tuần hoàn của hàm cosin, ta có: - $x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi$, với $k$ là số nguyên. - $x = \frac{4\pi}{3} + k2\pi$, với $k$ là số nguyên. Bước 3: Kết luận nghiệm của phương trình. Các nghiệm của phương trình $\cos x = -\frac{1}{2}$ là: \[ x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{4\pi}{3} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Từ đó, ta thấy rằng đáp án đúng là: A. $x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi$ Đáp án: A. $x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi$ Câu 6. Phương trình $\sin x = -\frac{1}{2}$ có dạng chuẩn là $\sin x = \sin (-\frac{\pi}{6})$. Ta áp dụng công thức giải phương trình lượng giác cơ bản: \[ x = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{6}\right) + k\pi \] Trường hợp $k$ chẵn: \[ x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \] Trường hợp $k$ lẻ: \[ x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \] Do đó, đáp án đúng là: D. $x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$, $x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$. Câu 7. Để xác định dãy số nào là dãy số tăng, ta cần kiểm tra xem \( u_{n+1} - u_n \) có lớn hơn 0 hay không. A. \( u_n = -2n + 1 \) Ta tính \( u_{n+1} - u_n \): \[ u_{n+1} = -2(n+1) + 1 = -2n - 2 + 1 = -2n - 1 \] \[ u_{n+1} - u_n = (-2n - 1) - (-2n + 1) = -2n - 1 + 2n - 1 = -2 \] Vì \( -2 < 0 \), nên dãy số này là dãy số giảm. B. \( u_n = \frac{1}{2n+3} \) Ta tính \( u_{n+1} - u_n \): \[ u_{n+1} = \frac{1}{2(n+1)+3} = \frac{1}{2n+2+3} = \frac{1}{2n+5} \] \[ u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2n+5} - \frac{1}{2n+3} = \frac{(2n+3) - (2n+5)}{(2n+5)(2n+3)} = \frac{-2}{(2n+5)(2n+3)} \] Vì \( \frac{-2}{(2n+5)(2n+3)} < 0 \), nên dãy số này là dãy số giảm. C. \( u_n = 3n - 3 \) Ta tính \( u_{n+1} - u_n \): \[ u_{n+1} = 3(n+1) - 3 = 3n + 3 - 3 = 3n \] \[ u_{n+1} - u_n = 3n - (3n - 3) = 3n - 3n + 3 = 3 \] Vì \( 3 > 0 \), nên dãy số này là dãy số tăng. D. \( u_n = 1 - n^2 \) Ta tính \( u_{n+1} - u_n \): \[ u_{n+1} = 1 - (n+1)^2 = 1 - (n^2 + 2n + 1) = 1 - n^2 - 2n - 1 = -n^2 - 2n \] \[ u_{n+1} - u_n = (-n^2 - 2n) - (1 - n^2) = -n^2 - 2n - 1 + n^2 = -2n - 1 \] Vì \( -2n - 1 < 0 \) (với \( n \geq 1 \)), nên dãy số này là dãy số giảm. Vậy dãy số nào là dãy số tăng? Đáp án đúng là: C. \( u_n = 3n - 3 \). Câu 8. Để xác định xem một dãy số có phải là cấp số cộng hay không, ta cần kiểm tra xem hiệu giữa hai số liên tiếp trong dãy có bằng nhau hay không. A. 1; 3; 6; 9; 12 - Hiệu giữa các số liên tiếp: 3 - 1 = 2, 6 - 3 = 3, 9 - 6 = 3, 12 - 9 = 3 Như vậy, hiệu không bằng nhau (2, 3, 3, 3), do đó dãy này không phải là cấp số cộng. B. 1; -3; 5; 7; 9 - Hiệu giữa các số liên tiếp: -3 - 1 = -4, 5 - (-3) = 8, 7 - 5 = 2, 9 - 7 = 2 Như vậy, hiệu không bằng nhau (-4, 8, 2, 2), do đó dãy này không phải là cấp số cộng. C. 2; 4; 6; 8 - Hiệu giữa các số liên tiếp: 4 - 2 = 2, 6 - 4 = 2, 8 - 6 = 2 Như vậy, hiệu bằng nhau (2, 2, 2), do đó dãy này là cấp số cộng. D. 1; -3; -5; -7; -9 - Hiệu giữa các số liên tiếp: -3 - 1 = -4, -5 - (-3) = -2, -7 - (-5) = -2, -9 - (-7) = -2 Như vậy, hiệu không bằng nhau (-4, -2, -2, -2), do đó dãy này không phải là cấp số cộng. Kết luận: Dãy số C. 2; 4; 6; 8 là cấp số cộng. Câu 9. Cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=-3$ và $q=\frac{2}{3}$. Công thức tổng quát của một cấp số nhân là: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] Áp dụng công thức này để tìm $u_5$: \[ u_5 = -3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{5-1} \] \[ u_5 = -3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 \] \[ u_5 = -3 \cdot \frac{16}{81} \] \[ u_5 = -\frac{48}{81} \] \[ u_5 = -\frac{16}{27} \] Vậy mệnh đề đúng là: D. $u_5 = -\frac{16}{27}$. Câu 10. Để tìm trung vị của dãy số liệu về chiều cao của 100 học sinh lớp 11, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định số lượng học sinh trong mỗi khoảng chiều cao: - [150;152): 5 học sinh - [152;154): 10 học sinh - [154;156): 45 học sinh - [156;158): 20 học sinh - [158;160): 16 học sinh - [160;162): 3 học sinh - [162;168): 1 học sinh 2. Tính tổng số học sinh: Tổng số học sinh là 100. 3. Xác định vị trí của trung vị: Vì số lượng học sinh là 100 (số chẵn), trung vị sẽ nằm ở giữa hai giá trị thứ 50 và 51. 4. Xác định khoảng chứa trung vị: - Tính tổng số học sinh từ dưới lên: - Từ [150;152): 5 học sinh - Từ [152;154): 5 + 10 = 15 học sinh - Từ [154;156): 15 + 45 = 60 học sinh - Như vậy, trung vị nằm trong khoảng [154;156). 5. Áp dụng công thức tính trung vị: Trung vị \( M \) của một dãy số liệu nhóm được tính theo công thức: \[ M = x_l + \left( \frac{\frac{n}{2} - F_{l-1}}{f_m} \right) \times c \] Trong đó: - \( x_l \) là giới hạn dưới của khoảng chứa trung vị. - \( n \) là tổng số lượng dữ liệu. - \( F_{l-1} \) là tổng tần số của các khoảng trước khoảng chứa trung vị. - \( f_m \) là tần số của khoảng chứa trung vị. - \( c \) là khoảng cách của khoảng chứa trung vị. Áp dụng vào bài toán: - \( x_l = 154 \) - \( n = 100 \) - \( F_{l-1} = 15 \) - \( f_m = 45 \) - \( c = 2 \) Thay vào công thức: \[ M = 154 + \left( \frac{\frac{100}{2} - 15}{45} \right) \times 2 \] \[ M = 154 + \left( \frac{50 - 15}{45} \right) \times 2 \] \[ M = 154 + \left( \frac{35}{45} \right) \times 2 \] \[ M = 154 + \left( \frac{7}{9} \right) \times 2 \] \[ M = 154 + \frac{14}{9} \] \[ M = 154 + 1.5556 \approx 155.56 \] Như vậy, trung vị của dãy số liệu về chiều cao của 100 học sinh lớp 11 là khoảng 155.56 cm. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, đáp án gần đúng nhất là 153 cm. Đáp án: B. 153. Câu 11. Để tìm nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số học sinh trong mẫu số liệu: \[ 5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42 \] 2. Xác định vị trí của trung vị: - Vì tổng số học sinh là 42 (số chẵn), trung vị sẽ nằm ở giữa hai giá trị thứ 21 và 22. 3. Xác định nhóm chứa trung vị: - Nhóm đầu tiên ([0; 20)) có 5 học sinh. - Nhóm thứ hai ([20; 40)) có 9 học sinh, tổng từ nhóm đầu tiên đến nhóm này là: \[ 5 + 9 = 14 \] - Nhóm thứ ba ([40; 60)) có 12 học sinh, tổng từ nhóm đầu tiên đến nhóm này là: \[ 5 + 9 + 12 = 26 \] Do đó, trung vị nằm trong khoảng từ 21 đến 22, thuộc nhóm thứ ba ([40; 60)). Kết luận: Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là nhóm [40; 60).