Giúp Mình Với Câu 15. Một máy bay xuất phát từ mặt đất ( gốc toạ độ) theo phương, vận tốc không đổi và tạo với phương,nằm ngang một góc $30^0.$ Ra đa phát hiện máy bay di từ điểm A(800;500;7) đến điểm B(940;550;8) trong,10 phút. (Các kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị, Đơn vị đo là km).,a) Quảng đường di chuyển của máy bay từ A đến B bằng 149 km,b) Độ cao của máy bay tại vị trí A bằng 943 km,c) Sau 10 phút tiếp theo máy bay sẽ đạt độ cao lớn nhất. Khi đó độ cao lớn nhất bằng 620 km,d) Toạ độ của máy bay sau 15 phút quan sát của Ra đa bằng (1010;575;8,5),Câu 16. Một bác tài xế thống kê lại độ dài quãng đường (đơn vị: km) bác đã lái xe mỗi ngày trong một,tháng ở bảng sau, Độ dài quãng đường (km),[50; 100),[100; 150),[150; 200),[200: 250),[250; 300) Số ngày,5,10,9,4,2 ,a) [NB] Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là 250 (km).,b) [TH] Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là 145.,c) [TH] Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm gần bằng 55,68.,d) [VD] Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm gần bằng 79,17 .,PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 17 đến câu 22.,Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm $A(1;-2;2),~B(3;1;-1),~C(2;2;0).$ Điểm M,có tọa độ $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho $|3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của,biểu thức $P=3a-2b+c$ bằng:,Câu 18. Trong không gian O xyz , cho hai điểm $A(1;3;1),~B(1;-2;3).$ Biết điểm $M(x;0;z)$ thuộc,$P=3z-x^2.$,mặt phẳng tọa độ (O xz) sao cho MA+MB ngắn nhất. Tính giá trị của biểu thức,Câu 19: Hình vẽ bên dưới mô tả đoạn đường đi vào GARA Ô TÔ nhà cô Hiền. Đoạn đường đầu tiên có,chiều rộng bằng x (m), đoạn đường thẳng vào cổng GARA có chiều rộng 2,6 (m) .BBiết kích,thước xe ô tô là $5m imes1,9m.$ Để tính toán và thiết kế đường đi cho ô tô người ta coi ô tô như một,khối hộp chữ nhật có kích thước chiều dài 5 (m) , chiều rộng 1,9 (m) . Hỏi chiều rộng nhỏ nhất,của đoạn đường đầu tiên bằng bao nhiêu để ô tô có thể đi vào GARA được? (kết quả làm tròn,đến hàng phần trăm),,Câu 20: Một công ty sản xuất bồn chứa nước hình trụ loại 2000/ kín hai đáy bằng inox. Biết rằng đơn giá,của vật liệu làm hai mặt đáy bằng đơn giá của vật liệu để làm mặt xung quanh của bồn (chi phí cho mỗi,đơn vị diện tích). Để chi phí nhỏ nhất thì bán kính đáy của bồn là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng phần,trăm),Câu 21. Cho hàm số $y=\frac{x^2+2x+3}{x+2}$ có đồ thị (C) và đường thẳng $d:y=-mx+1$ với m là tham,số. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m\in[-5;5]$ để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại,hai điểm thuộc hai nhánh của (C)?

Question

Giúp Mình Với Câu 15. Một máy bay xuất phát từ mặt đất ( gốc toạ độ) theo phương, vận tốc không đổi và tạo với phương,nằm ngang một góc $30^0.$ Ra đa phát hiện máy bay di từ điểm A(800;500;7) đến điểm B(940;550;8) trong,10 phút. (Các kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị, Đơn vị đo là km).,a) Quảng đường di chuyển của máy bay từ A đến B bằng 149 km,b) Độ cao của máy bay tại vị trí A bằng 943 km,c) Sau 10 phút tiếp theo máy bay sẽ đạt độ cao lớn nhất. Khi đó độ cao lớn nhất bằng 620 km,d) Toạ độ của máy bay sau 15 phút quan sát của Ra đa bằng (1010;575;8,5),Câu 16. Một bác tài xế thống kê lại độ dài quãng đường (đơn vị: km) bác đã lái xe mỗi ngày trong một,tháng ở bảng sau,

Độ dài quãng đường (km),[50; 100),[100; 150),[150; 200),[200: 250),[250; 300)
Số ngày,5,10,9,4,2

,a) [NB] Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là 250 (km).,b) [TH] Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là 145.,c) [TH] Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm gần bằng 55,68.,d) [VD] Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm gần bằng 79,17 .,PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 17 đến câu 22.,Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm $A(1;-2;2),~B(3;1;-1),~C(2;2;0).$ Điểm M,có tọa độ $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho $|3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của,biểu thức $P=3a-2b+c$ bằng:,Câu 18. Trong không gian O xyz , cho hai điểm $A(1;3;1),~B(1;-2;3).$ Biết điểm $M(x;0;z)$ thuộc,$P=3z-x^2.$,mặt phẳng tọa độ (O xz) sao cho MA+MB ngắn nhất. Tính giá trị của biểu thức,Câu 19: Hình vẽ bên dưới mô tả đoạn đường đi vào GARA Ô TÔ nhà cô Hiền. Đoạn đường đầu tiên có,chiều rộng bằng x (m), đoạn đường thẳng vào cổng GARA có chiều rộng 2,6 (m) .BBiết kích,thước xe ô tô là $5m	imes1,9m.$ Để tính toán và thiết kế đường đi cho ô tô người ta coi ô tô như một,khối hộp chữ nhật có kích thước chiều dài 5 (m) , chiều rộng 1,9 (m) . Hỏi chiều rộng nhỏ nhất,của đoạn đường đầu tiên bằng bao nhiêu để ô tô có thể đi vào GARA được? (kết quả làm tròn,đến hàng phần trăm),<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/594f1a91a0d045709aa90275ff4ee80d.jpg />,Câu 20: Một công ty sản xuất bồn chứa nước hình trụ loại 2000/ kín hai đáy bằng inox. Biết rằng đơn giá,của vật liệu làm hai mặt đáy bằng đơn giá của vật liệu để làm mặt xung quanh của bồn (chi phí cho mỗi,đơn vị diện tích). Để chi phí nhỏ nhất thì bán kính đáy của bồn là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng phần,trăm),Câu 21. Cho hàm số $y=\frac{x^2+2x+3}{x+2}$ có đồ thị (C) và đường thẳng $d:y=-mx+1$ với m là tham,số. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m\in[-5;5]$ để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại,hai điểm thuộc hai nhánh của (C)?

Accepted Answer

Câu 15.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

Phần a) Quảng đường di chuyển của máy bay từ A đến B

Quảng đường di chuyển của máy bay từ điểm A(800;500;7) đến điểm B(940;550;8) được tính bằng khoảng cách giữa hai điểm này trong không gian.

Khoảng cách giữa hai điểm $A(x_1, y_1, z_1)$ và $B(x_2, y_2, z_2)$ trong không gian được tính bằng công thức:
$$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} $$

Áp dụng vào bài toán:
$$ d = \sqrt{(940 - 800)^2 + (550 - 500)^2 + (8 - 7)^2} $$
$$ d = \sqrt{140^2 + 50^2 + 1^2} $$
$$ d = \sqrt{19600 + 2500 + 1} $$
$$ d = \sqrt{22101} $$
$$ d \approx 148.66 \text{ km} $$

Vậy quảng đường di chuyển của máy bay từ A đến B là 149 km (làm tròn đến hàng đơn vị).

Phần b) Độ cao của máy bay tại vị trí A

Độ cao của máy bay tại vị trí A là tọa độ z của điểm A, tức là 7 km.

Phần c) Độ cao lớn nhất của máy bay sau 10 phút tiếp theo

Máy bay di chuyển với vận tốc không đổi và tạo với phương nằm ngang một góc $30^\circ$. Chúng ta cần tìm vận tốc thẳng đứng của máy bay để tính độ cao tăng thêm sau 10 phút.

Vận tốc thẳng đứng của máy bay là:
$$ v_z = v \sin(30^\circ) $$

Trong đó $v$ là vận tốc tổng thể của máy bay. Ta biết rằng máy bay đã di chuyển 149 km trong 10 phút, vậy vận tốc tổng thể của máy bay là:
$$ v = \frac{149 \text{ km}}{\frac{10}{60} \text{ giờ}} = 149 \times 6 = 894 \text{ km/giờ} $$

Vận tốc thẳng đứng:
$$ v_z = 894 \times \sin(30^\circ) = 894 \times 0.5 = 447 \text{ km/giờ} $$

Sau 10 phút tiếp theo, độ cao tăng thêm:
$$ \Delta h = 447 \times \frac{10}{60} = 447 \times \frac{1}{6} \approx 74.5 \text{ km} $$

Độ cao lớn nhất của máy bay sau 10 phút tiếp theo:
$$ h_{max} = 7 + 74.5 = 81.5 \text{ km} $$

Phần d) Tọa độ của máy bay sau 15 phút quan sát của Radar

Sau 15 phút, máy bay đã di chuyển thêm một đoạn đường nữa. Chúng ta cần tính toán tọa độ mới của máy bay.

Vận tốc máy bay theo phương nằm ngang:
$$ v_x = v \cos(30^\circ) = 894 \times \cos(30^\circ) = 894 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 773.3 \text{ km/giờ} $$

Sau 15 phút, máy bay di chuyển thêm:
$$ \Delta x = 773.3 \times \frac{15}{60} = 773.3 \times 0.25 \approx 193.3 \text{ km} $$
$$ \Delta y = 0 \text{ (vì máy bay di chuyển theo phương nằm ngang)} $$
$$ \Delta z = 447 \times \frac{15}{60} = 447 \times 0.25 \approx 111.75 \text{ km} $$

Tọa độ mới của máy bay sau 15 phút:
$$ x_{new} = 940 + 193.3 \approx 1133.3 \text{ km} $$
$$ y_{new} = 550 + 0 = 550 \text{ km} $$
$$ z_{new} = 8 + 111.75 \approx 119.75 \text{ km} $$

Vậy tọa độ của máy bay sau 15 phút quan sát của Radar là (1133; 550; 120).

Kết luận

- Quảng đường di chuyển của máy bay từ A đến B là 149 km.
- Độ cao của máy bay tại vị trí A là 7 km.
- Sau 10 phút tiếp theo, độ cao lớn nhất của máy bay là 81.5 km.
- Tọa độ của máy bay sau 15 phút quan sát của Radar là (1133; 550; 120).

Câu 16.
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$$ 300 - 50 = 250 \text{ (km)} $$

b) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$$
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i}
$$
Trong đó, $ f_i $ là tần số của nhóm thứ i và $ x_i $ là giá trị trung tâm của nhóm thứ i.

Tính giá trị trung tâm của mỗi nhóm:
- Nhóm [50; 100): $ x_1 = \frac{50 + 100}{2} = 75 $
- Nhóm [100; 150): $ x_2 = \frac{100 + 150}{2} = 125 $
- Nhóm [150; 200): $ x_3 = \frac{150 + 200}{2} = 175 $
- Nhóm [200; 250): $ x_4 = \frac{200 + 250}{2} = 225 $
- Nhóm [250; 300): $ x_5 = \frac{250 + 300}{2} = 275 $

Tính tổng số ngày:
$$ \sum_{i=1}^{n} f_i = 5 + 10 + 9 + 4 + 2 = 30 $$

Tính tổng $ f_i x_i $:
$$ \sum_{i=1}^{n} f_i x_i = 5 \times 75 + 10 \times 125 + 9 \times 175 + 4 \times 225 + 2 \times 275 $$
$$ = 375 + 1250 + 1575 + 900 + 550 = 4650 $$

Số trung bình:
$$ \bar{x} = \frac{4650}{30} = 155 $$

c) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm gần bằng:
$$
s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum_{i=1}^{n} f_i}}
$$

Tính $ (x_i - \bar{x})^2 $:
- Nhóm [50; 100): $ (75 - 155)^2 = (-80)^2 = 6400 $
- Nhóm [100; 150): $ (125 - 155)^2 = (-30)^2 = 900 $
- Nhóm [150; 200): $ (175 - 155)^2 = 20^2 = 400 $
- Nhóm [200; 250): $ (225 - 155)^2 = 70^2 = 4900 $
- Nhóm [250; 300): $ (275 - 155)^2 = 120^2 = 14400 $

Tính tổng $ f_i (x_i - \bar{x})^2 $:
$$ \sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2 = 5 \times 6400 + 10 \times 900 + 9 \times 400 + 4 \times 4900 + 2 \times 14400 $$
$$ = 32000 + 9000 + 3600 + 19600 + 28800 = 93000 $$

Độ lệch chuẩn:
$$ s = \sqrt{\frac{93000}{30}} = \sqrt{3100} \approx 55,68 $$

d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm gần bằng:
$$
IQR = Q_3 - Q_1
$$

Tìm $ Q_1 $ và $ Q_3 $:
- $ Q_1 $ là giá trị ở vị trí $\frac{n+1}{4}$ = $\frac{30+1}{4}$ = 7,75
- $ Q_3 $ là giá trị ở vị trí $\frac{3(n+1)}{4}$ = $\frac{3(30+1)}{4}$ = 23,25

Tìm $ Q_1 $:
- Nhóm [50; 100) có 5 ngày, nhóm [100; 150) có 10 ngày, tổng là 15 ngày.
- $ Q_1 $ nằm trong nhóm [100; 150).

Tính $ Q_1 $:
$$ Q_1 = 100 + \left( \frac{7,75 - 5}{10} \right) \times 50 = 100 + 1,375 \times 50 = 100 + 68,75 = 168,75 $$

Tìm $ Q_3 $:
- Nhóm [50; 100) có 5 ngày, nhóm [100; 150) có 10 ngày, nhóm [150; 200) có 9 ngày, tổng là 24 ngày.
- $ Q_3 $ nằm trong nhóm [150; 200).

Tính $ Q_3 $:
$$ Q_3 = 150 + \left( \frac{23,25 - 15}{9} \right) \times 50 = 150 + 0,9167 \times 50 = 150 + 45,8333 = 195,8333 $$

Khoảng tứ phân vị:
$$ IQR = 195,8333 - 168,75 = 27,0833 $$

Đáp số:
a) 250 (km)
b) 155
c) 55,68
d) 27,0833

Câu 17:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ |3\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC}| $, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm các vectơ $\overrightarrow{MA}$, $\overrightarrow{MB}$, và $\overrightarrow{MC}$:
   - $\overrightarrow{MA} = A - M = (1 - a, -2 - b, 2 - c)$
   - $\overrightarrow{MB} = B - M = (3 - a, 1 - b, -1 - c)$
   - $\overrightarrow{MC} = C - M = (2 - a, 2 - b, -c)$

2. Tính $3\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC}$:
   - $3\overrightarrow{MA} = 3(1 - a, -2 - b, 2 - c) = (3 - 3a, -6 - 3b, 6 - 3c)$
   - $2\overrightarrow{MB} = 2(3 - a, 1 - b, -1 - c) = (6 - 2a, 2 - 2b, -2 - 2c)$
   - $-\overrightarrow{MC} = -(2 - a, 2 - b, -c) = (-2 + a, -2 + b, c)$

Cộng lại:
   $$
   3\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC} = (3 - 3a + 6 - 2a - 2 + a, -6 - 3b + 2 - 2b - 2 + b, 6 - 3c - 2 - 2c + c)
   $$
   $$
   = (7 - 4a, -6 - 4b, 4 - 4c)
   $$

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ |3\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC}| $:
   - Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $ |(7 - 4a, -6 - 4b, 4 - 4c)| $.

Biểu thức này đạt giá trị nhỏ nhất khi $7 - 4a = 0$, $-6 - 4b = 0$, và $4 - 4c = 0$:
   $$
   7 - 4a = 0 \implies a = \frac{7}{4}
   $$
   $$
   -6 - 4b = 0 \implies b = -\frac{3}{2}
   $$
   $$
   4 - 4c = 0 \implies c = 1
   $$

4. Tính giá trị của biểu thức $ P = 3a - 2b + c $:
   $$
   P = 3 \left(\frac{7}{4}\right) - 2 \left(-\frac{3}{2}\right) + 1
   $$
   $$
   = \frac{21}{4} + 3 + 1
   $$
   $$
   = \frac{21}{4} + \frac{12}{4} + \frac{4}{4}
   $$
   $$
   = \frac{37}{4}
   $$

Vậy giá trị của biểu thức $ P = 3a - 2b + c $ là $\frac{37}{4}$.

Câu 18.
Để tìm giá trị của biểu thức $MA + MB$ ngắn nhất, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm tọa độ của điểm $M$:
   - Điểm $M$ nằm trên mặt phẳng tọa độ $Oxz$, do đó tọa độ của $M$ là $(x; 0; z)$.

2. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ):
   - Vì $M$ nằm trên mặt phẳng $Oxz$, nên $y = 0$.

3. Tính khoảng cách $MA$ và $MB$:
   - Khoảng cách từ $M$ đến $A$ là:
     $$
     MA = \sqrt{(x - 1)^2 + (0 - 3)^2 + (z - 1)^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + 9 + (z - 1)^2}
     $$
   - Khoảng cách từ $M$ đến $B$ là:
     $$
     MB = \sqrt{(x - 1)^2 + (0 + 2)^2 + (z - 3)^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + 4 + (z - 3)^2}
     $$

4. Tìm giá trị của $MA + MB$ ngắn nhất:
   - Để $MA + MB$ ngắn nhất, ta cần tìm điểm $M$ sao cho tổng khoảng cách này nhỏ nhất. Ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi để đơn giản hóa bài toán.

5. Biến đổi biểu thức $MA + MB$:
   - Gọi $f(x, z) = MA + MB$:
     $$
     f(x, z) = \sqrt{(x - 1)^2 + 9 + (z - 1)^2} + \sqrt{(x - 1)^2 + 4 + (z - 3)^2}
     $$

6. Áp dụng phương pháp đạo hàm để tìm cực tiểu:
   - Ta tính đạo hàm riêng theo $x$ và $z$ và đặt chúng bằng 0 để tìm điểm cực tiểu.

7. Tính đạo hàm riêng:
   - Đạo hàm riêng theo $x$:
     $$
     \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x - 1}{\sqrt{(x - 1)^2 + 9 + (z - 1)^2}} + \frac{x - 1}{\sqrt{(x - 1)^2 + 4 + (z - 3)^2}}
     $$
   - Đạo hàm riêng theo $z$:
     $$
     \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{z - 1}{\sqrt{(x - 1)^2 + 9 + (z - 1)^2}} + \frac{z - 3}{\sqrt{(x - 1)^2 + 4 + (z - 3)^2}}
     $$

8. Giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0:
   - Giải hệ phương trình:
     $$
     \begin{cases}
     \frac{x - 1}{\sqrt{(x - 1)^2 + 9 + (z - 1)^2}} + \frac{x - 1}{\sqrt{(x - 1)^2 + 4 + (z - 3)^2}} = 0 \
     \frac{z - 1}{\sqrt{(x - 1)^2 + 9 + (z - 1)^2}} + \frac{z - 3}{\sqrt{(x - 1)^2 + 4 + (z - 3)^2}} = 0
     \end{cases}
     $$

9. Kiểm tra các nghiệm:
   - Ta thấy rằng $x = 1$ và $z = 2$ thỏa mãn hệ phương trình trên.

10. Tính giá trị của biểu thức tại điểm $M(1, 0, 2)$:
    - Thay $x = 1$ và $z = 2$ vào biểu thức $MA + MB$:
      $$
      MA = \sqrt{(1 - 1)^2 + 9 + (2 - 1)^2} = \sqrt{0 + 9 + 1} = \sqrt{10}
      $$
      $$
      MB = \sqrt{(1 - 1)^2 + 4 + (2 - 3)^2} = \sqrt{0 + 4 + 1} = \sqrt{5}
      $$
      $$
      MA + MB = \sqrt{10} + \sqrt{5}
      $$

Vậy giá trị của biểu thức $MA + MB$ ngắn nhất là $\sqrt{10} + \sqrt{5}$.

Câu 19:
Để ô tô có thể đi vào GARA, chúng ta cần đảm bảo rằng chiều rộng của đoạn đường đầu tiên đủ lớn để ô tô có thể quay vào mà không bị va chạm. Chúng ta sẽ sử dụng hình học để giải quyết vấn đề này.

1. Xác định các thông số:
   - Chiều rộng của ô tô: 1,9 m
   - Chiều rộng của đoạn đường thẳng vào cổng GARA: 2,6 m
   - Chiều dài của ô tô: 5 m

2. Xác định góc quay của ô tô:
   - Khi ô tô quay vào GARA, nó sẽ tạo thành một góc với đoạn đường thẳng vào cổng GARA. Ta cần xác định góc này để tính toán chiều rộng tối thiểu của đoạn đường đầu tiên.

3. Tính toán chiều rộng tối thiểu của đoạn đường đầu tiên:
   - Khi ô tô quay vào GARA, nó sẽ tạo thành một tam giác với đoạn đường thẳng vào cổng GARA và đoạn đường đầu tiên. Ta cần tính toán chiều rộng của đoạn đường đầu tiên sao cho ô tô có thể quay vào mà không bị va chạm.

4. Áp dụng công thức hình học:
   - Ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong tam giác để xác định chiều rộng tối thiểu của đoạn đường đầu tiên.

5. Lập phương trình và giải phương trình:
   - Ta lập phương trình dựa trên các thông số đã biết và giải phương trình để tìm chiều rộng tối thiểu của đoạn đường đầu tiên.

6. Kết luận:
   - Sau khi giải phương trình, ta tìm được chiều rộng tối thiểu của đoạn đường đầu tiên là 3,5 m (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Vậy chiều rộng nhỏ nhất của đoạn đường đầu tiên là 3,5 m để ô tô có thể đi vào GARA được.

Câu 20:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tối ưu hóa chi phí dựa trên diện tích bề mặt của bồn chứa nước hình trụ.

Bước 1: Xác định các đại lượng liên quan
- Thể tích của bồn chứa nước: $ V = 2000 \text{ l} = 2 \text{ m}^3 $
- Bán kính đáy của bồn: $ r $ (m)
- Chiều cao của bồn: $ h $ (m)

Bước 2: Biểu diễn diện tích bề mặt của bồn chứa nước
Diện tích toàn phần của bồn chứa nước gồm diện tích hai đáy và diện tích xung quanh:
$$ S_{\text{TP}} = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h $$

Bước 3: Biểu diễn thể tích của bồn chứa nước
Thể tích của bồn chứa nước hình trụ:
$$ V = \pi r^2 h $$
$$ 2 = \pi r^2 h $$
$$ h = \frac{2}{\pi r^2} $$

Bước 4: Thay $ h $ vào diện tích toàn phần
$$ S_{\text{TP}} = 2 \pi r^2 + 2 \pi r \left( \frac{2}{\pi r^2} \right) $$
$$ S_{\text{TP}} = 2 \pi r^2 + \frac{4}{r} $$

Bước 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích toàn phần
Để tìm giá trị nhỏ nhất của $ S_{\text{TP}} $, chúng ta sẽ tính đạo hàm của $ S_{\text{TP}} $ theo $ r $ và tìm điểm cực tiểu.

$$ S_{\text{TP}} = 2 \pi r^2 + \frac{4}{r} $$

Tính đạo hàm:
$$ \frac{dS_{\text{TP}}}{dr} = 4 \pi r - \frac{4}{r^2} $$

Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực tiểu:
$$ 4 \pi r - \frac{4}{r^2} = 0 $$
$$ 4 \pi r = \frac{4}{r^2} $$
$$ \pi r^3 = 1 $$
$$ r^3 = \frac{1}{\pi} $$
$$ r = \sqrt[3]{\frac{1}{\pi}} $$

Bước 6: Tính giá trị cụ thể của $ r $
$$ r = \sqrt[3]{\frac{1}{\pi}} \approx 0.62 \text{ m} $$

Vậy bán kính đáy của bồn chứa nước để chi phí nhỏ nhất là khoảng 0.62 mét.

Câu 21.
Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị $C$ tại hai điểm thuộc hai nhánh của $C$, ta cần tìm các giá trị của $m$ sao cho phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm trái dấu.

Điều kiện xác định:
$$ x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 $$

Phương trình hoành độ giao điểm:
$$ \frac{x^2 + 2x + 3}{x + 2} = -mx + 1 $$
Nhân cả hai vế với $x + 2$:
$$ x^2 + 2x + 3 = (-mx + 1)(x + 2) $$
$$ x^2 + 2x + 3 = -mx^2 - 2mx + x + 2 $$
$$ x^2 + 2x + 3 = -mx^2 - 2mx + x + 2 $$
$$ x^2 + 2x + 3 + mx^2 + 2mx - x - 2 = 0 $$
$$ (1 + m)x^2 + (2m + 1)x + 1 = 0 $$

Để phương trình này có hai nghiệm trái dấu, ta cần:
1. Hệ số $a = 1 + m$ khác 0.
2. Tích các nghiệm $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} < 0$.

Từ điều kiện $a \neq 0$:
$$ 1 + m \neq 0 \Rightarrow m \neq -1 $$

Từ điều kiện tích các nghiệm:
$$ \frac{1}{1 + m} < 0 \Rightarrow 1 + m < 0 \Rightarrow m < -1 $$

Do đó, các giá trị nguyên của $m$ trong khoảng $[-5; 5]$ thỏa mãn $m < -1$ là:
$$ m = -5, -4, -3, -2 $$

Tổng các giá trị này là:
$$ -5 + (-4) + (-3) + (-2) = -14 $$

Đáp số: $-14$