Chứng minh biểu thức A= -x^2 + 2/3x - 1 luôn âm với giá trị của biến

Để chứng minh biểu thức \( A = -x^2 + \frac{2}{3}x - 1 \) luôn âm với mọi giá trị của biến \( x \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đỉnh của parabol: Biểu thức \( A = -x^2 + \frac{2}{3}x - 1 \) là một đa thức bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c \), trong đó \( a = -1 \), \( b = \frac{2}{3} \), và \( c = -1 \). Đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) có tọa độ \( \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) \). Tính \( x \) của đỉnh: \[ x = -\frac{\frac{2}{3}}{2 \times (-1)} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \] Thay \( x = \frac{1}{3} \) vào biểu thức \( A \): \[ A = -\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{2}{3} \left(\frac{1}{3}\right) - 1 \] \[ A = -\frac{1}{9} + \frac{2}{9} - 1 \] \[ A = \frac{-1 + 2 - 9}{9} = \frac{-8}{9} \] Vậy đỉnh của parabol là \( \left( \frac{1}{3}, -\frac{8}{9} \right) \). 2. Xác định hướng của parabol: Vì hệ số \( a = -1 \) là số âm, nên parabol mở ra phía dưới. 3. Kết luận: Parabol \( A = -x^2 + \frac{2}{3}x - 1 \) có đỉnh là \( \left( \frac{1}{3}, -\frac{8}{9} \right) \) và mở ra phía dưới. Điều này có nghĩa là giá trị của biểu thức \( A \) luôn nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tại đỉnh, tức là luôn nhỏ hơn hoặc bằng \( -\frac{8}{9} \). Do đó, biểu thức \( A \) luôn âm với mọi giá trị của biến \( x \). Đáp số: Biểu thức \( A = -x^2 + \frac{2}{3}x - 1 \) luôn âm với mọi giá trị của biến \( x \).