Cách giải chi tiết

Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập phương trình và tìm giá trị tối ưu. Gọi số hecta khoai lang bác Năm trồng là \( x \) (hecta) và số hecta khoai mì bác Năm trồng là \( y \) (hecta). Từ đề bài, ta có: - Mỗi hecta khoai lang cần 10 ngày công và thu được 20 triệu đồng. - Mỗi hecta khoai mì cần 15 ngày công và thu được 25 triệu đồng. - Tổng số ngày công bác Năm có là 90 ngày. Ta có hai phương trình: 1. \( 10x + 15y \leq 90 \) 2. Số tiền thu được từ việc trồng khoai lang và khoai mì là \( 20x + 25y \). Chúng ta cần tìm giá trị của \( x \) và \( y \) sao cho tổng số tiền thu được là lớn nhất và thỏa mãn điều kiện \( 10x + 15y \leq 90 \). Đầu tiên, ta giải phương trình \( 10x + 15y = 90 \): \[ 2x + 3y = 18 \] \[ y = \frac{18 - 2x}{3} \] Tiếp theo, ta thử các giá trị của \( x \) để tìm giá trị của \( y \) và tính số tiền thu được. 1. Nếu \( x = 0 \): \[ y = \frac{18 - 2 \cdot 0}{3} = 6 \] Số tiền thu được: \( 20 \cdot 0 + 25 \cdot 6 = 150 \) triệu đồng. 2. Nếu \( x = 3 \): \[ y = \frac{18 - 2 \cdot 3}{3} = 4 \] Số tiền thu được: \( 20 \cdot 3 + 25 \cdot 4 = 60 + 100 = 160 \) triệu đồng. 3. Nếu \( x = 6 \): \[ y = \frac{18 - 2 \cdot 6}{3} = 2 \] Số tiền thu được: \( 20 \cdot 6 + 25 \cdot 2 = 120 + 50 = 170 \) triệu đồng. 4. Nếu \( x = 9 \): \[ y = \frac{18 - 2 \cdot 9}{3} = 0 \] Số tiền thu được: \( 20 \cdot 9 + 25 \cdot 0 = 180 \) triệu đồng. Như vậy, để thu được nhiều tiền nhất, bác Năm nên trồng 9 hecta khoai lang và không trồng khoai mì. Đáp số: Bác Năm nên trồng 9 hecta khoai lang và không trồng khoai mì để thu được nhiều tiền nhất. Câu 3. Để tính độ dốc của cầu qua trụ nói trên, ta cần tính góc tạo bởi dây văng và mặt cầu. Gọi góc này là $\alpha$. Trong tam giác vuông AHB, ta có: - AH = 150 m - AB = 300 m - HB = 250 m Ta sử dụng định lý Pythagoras để kiểm tra: \[ AB^2 = AH^2 + HB^2 \] \[ 300^2 = 150^2 + 250^2 \] \[ 90000 = 22500 + 62500 \] \[ 90000 = 90000 \] Điều này chứng tỏ tam giác AHB là tam giác vuông tại H. Bây giờ, ta tính góc $\alpha$ bằng cách sử dụng tỉ số lượng giác: \[ \sin(\alpha) = \frac{AH}{AB} = \frac{150}{300} = \frac{1}{2} \] Từ bảng lượng giác hoặc máy tính, ta biết rằng: \[ \alpha = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ \] Vậy độ dốc của cầu qua trụ nói trên là 30 độ. Đáp số: 30 độ. Câu 4. Trước tiên, ta cần hiểu rằng khi một vật chìm một nửa thể tích trong chất lỏng, thì lực đẩy Archimedes (F) sẽ bằng một nửa trọng lực (P) của vật. Điều này dựa trên nguyên lý Archimedes, theo đó lực đẩy Archimedes bằng trọng lượng của thể tích chất lỏng bị đẩy ra. Bây giờ, ta sẽ lập luận từng bước: 1. Xác định lực đẩy Archimedes: - Khi vật chìm một nửa thể tích trong chất lỏng, lực đẩy Archimedes (F) sẽ bằng trọng lượng của một nửa thể tích chất lỏng bị đẩy ra. - Ta có: \( F = \frac{1}{2} \times \text{trọng lượng của toàn bộ thể tích chất lỏng bị đẩy ra} \). 2. Xác định mối liên hệ giữa trọng lực của vật và lực đẩy Archimedes: - Vì vật chìm một nửa thể tích trong chất lỏng, nên lực đẩy Archimedes sẽ bằng một nửa trọng lực của vật. - Ta có: \( F = \frac{1}{2} P \). 3. Tìm mối liên hệ giữa trọng lượng riêng của vật và của chất lỏng: - Trọng lượng riêng của vật là tỷ lệ giữa khối lượng của vật và thể tích của nó. - Trọng lượng riêng của chất lỏng là tỷ lệ giữa khối lượng của chất lỏng và thể tích của nó. - Khi vật chìm một nửa thể tích trong chất lỏng, điều này có nghĩa là trọng lượng riêng của vật bằng một nửa trọng lượng riêng của chất lỏng. - Ta có: \( \rho_{\text{vật}} = \frac{1}{2} \rho_{\text{chất lỏng}} \). Vậy, mối liên hệ giữa trọng lực của vật và lực đẩy Archimedes là: \[ F = \frac{1}{2} P \] Mối liên hệ giữa trọng lượng riêng của vật và của chất lỏng là: \[ \rho_{\text{vật}} = \frac{1}{2} \rho_{\text{chất lỏng}} \] Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định hàm số bậc hai mô tả độ cao của quả bóng theo thời gian. 2. Tìm thời điểm mà quả bóng chạm đất, tức là độ cao bằng 0. Bước 1: Xác định hàm số bậc hai Hàm số bậc hai có dạng \( h(t) = at^2 + bt + c \). Chúng ta sẽ sử dụng các điểm dữ liệu đã cho để tìm các hệ số \( a \), \( b \), và \( c \). - Khi \( t = 0 \), \( h(0) = 0 \), suy ra \( c = 0 \). - Khi \( t = 0,5 \), \( h(0,5) = 28 \), suy ra \( a(0,5)^2 + b(0,5) = 28 \). - Khi \( t = 1 \), \( h(1) = 48 \), suy ra \( a(1)^2 + b(1) = 48 \). Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 0,25a + 0,5b = 28 \\ a + b = 48 \end{cases} \] Từ phương trình thứ hai, ta có \( b = 48 - a \). Thay vào phương trình thứ nhất: \[ 0,25a + 0,5(48 - a) = 28 \] \[ 0,25a + 24 - 0,5a = 28 \] \[ -0,25a = 4 \] \[ a = -16 \] Thay \( a = -16 \) vào \( b = 48 - a \): \[ b = 48 - (-16) = 64 \] Vậy hàm số bậc hai là: \[ h(t) = -16t^2 + 64t \] Bước 2: Tìm thời điểm mà quả bóng chạm đất Quả bóng chạm đất khi \( h(t) = 0 \): \[ -16t^2 + 64t = 0 \] \[ t(-16t + 64) = 0 \] Ta có hai nghiệm: \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad -16t + 64 = 0 \] \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t = 4 \] Vì \( t = 0 \) là thời điểm ban đầu, nên thời điểm mà quả bóng chạm đất là: \[ t = 4 \text{ giây} \] Đáp số: Sau 4 giây kể từ khi vận động viên đánh bóng thì bóng lại chạm đất. Câu 6. Để giải phương trình $\sqrt{x^2+3}=3x-1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Biểu thức $\sqrt{x^2+3}$ luôn luôn có nghĩa vì $x^2 + 3 > 0$ với mọi $x$. - Biểu thức $3x - 1$ phải lớn hơn hoặc bằng 0 để phương trình có nghiệm: \[ 3x - 1 \geq 0 \implies x \geq \frac{1}{3} \] 2. Giải phương trình: - Ta bình phương cả hai vế của phương trình để loại bỏ căn bậc hai: \[ (\sqrt{x^2+3})^2 = (3x-1)^2 \] Điều này dẫn đến: \[ x^2 + 3 = 9x^2 - 6x + 1 \] - Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ x^2 + 3 - 9x^2 + 6x - 1 = 0 \] \[ -8x^2 + 6x + 2 = 0 \] - Nhân cả hai vế với -1 để đơn giản hóa: \[ 8x^2 - 6x - 2 = 0 \] - Chia cả hai vế cho 2: \[ 4x^2 - 3x - 1 = 0 \] 3. Giải phương trình bậc hai: - Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với $a = 4$, $b = -3$, $c = -1$: \[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} \] \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{8} \] \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{8} \] \[ x = \frac{3 \pm 5}{8} \] - Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{3 + 5}{8} = 1 \] \[ x_2 = \frac{3 - 5}{8} = -\frac{1}{4} \] 4. Kiểm tra điều kiện xác định: - Nghiệm $x = 1$ thỏa mãn điều kiện $x \geq \frac{1}{3}$. - Nghiệm $x = -\frac{1}{4}$ không thỏa mãn điều kiện $x \geq \frac{1}{3}$. Do đó, phương trình $\sqrt{x^2+3}=3x-1$ có duy nhất một nghiệm là $x = 1$. Đáp số: Phương trình có 1 nghiệm: $x = 1$.