snnanansnnsnsn

Câu 5: Trước tiên, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định nào đúng. A. $|\overrightarrow{BD}| = a\sqrt{2}$: - Trong hình lập phương, đoạn thẳng BD là đường chéo của một mặt phẳng của lập phương. Do đó, độ dài của BD là $a\sqrt{2}$ (theo công thức tính đường chéo của hình vuông). Vậy khẳng định này đúng. B. $|\overrightarrow{BD'}| = a\sqrt{3}$: - Trong hình lập phương, đoạn thẳng BD' là đường chéo không gian của lập phương. Do đó, độ dài của BD' là $a\sqrt{3}$ (theo công thức tính đường chéo không gian của hình lập phương). Vậy khẳng định này đúng. C. $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{0}$: - Ta thấy rằng $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{A'C'}$ là hai vectơ song song và ngược chiều, nhưng chúng không cùng độ dài (độ dài của AC là $a\sqrt{2}$ và độ dài của A'C' cũng là $a\sqrt{2}$). Do đó, tổng của chúng không phải là vectơ null. Vậy khẳng định này sai. D. $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{BD'}$: - Ta thấy rằng $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BB'}$ là ba vectơ đại diện cho ba cạnh của lập phương xuất phát từ điểm B. Tổng của chúng sẽ là vectơ đại diện cho đường chéo không gian BD'. Vậy khẳng định này đúng. Kết luận: Các khẳng định đúng là A, B và D. Đáp án: A, B, D. Câu 6: Trước tiên, ta xét các vectơ trong hình hộp ABCD . A'B'C'D': - $\overrightarrow{A'A}$ là vectơ từ đỉnh A' về đỉnh A. - $\overrightarrow{A'B'}$ là vectơ từ đỉnh A' sang đỉnh B'. - $\overrightarrow{A'D'}$ là vectơ từ đỉnh A' sang đỉnh D'. Theo quy tắc cộng vectơ trong hình học, ta có: \[ \overrightarrow{u} = \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{A'D'} \] Ta sẽ lần lượt cộng các vectơ này: 1. $\overrightarrow{A'A}$ là vectơ chỉ từ A' về A. 2. $\overrightarrow{A'B'}$ là vectơ chỉ từ A' sang B', tức là song song với đáy hình hộp. 3. $\overrightarrow{A'D'}$ là vectơ chỉ từ A' sang D', cũng song song với đáy hình hộp. Kết hợp ba vectơ này, ta nhận thấy rằng: - $\overrightarrow{A'A}$ là vectơ chỉ từ A' về A, tức là chỉ xuống. - $\overrightarrow{A'B'}$ và $\overrightarrow{A'D'}$ là hai vectơ chỉ theo hai hướng khác nhau trên mặt đáy của hình hộp. Khi cộng cả ba vectơ này lại, ta nhận thấy rằng chúng tạo thành một đường thẳng từ A' đến C'. Do đó: \[ \overrightarrow{u} = \overrightarrow{A'C'} \] Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, ta thấy rằng: - A. $\overrightarrow{AC}$ - B. $\overrightarrow{CA}$ - C. $\overrightarrow{AC'}$ - D. $\overrightarrow{CA}$ Trong đó, $\overrightarrow{AC'}$ là vectơ chỉ từ A đến C', đúng với kết quả ta vừa tính. Vậy đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{AC'}$. Câu 7: Để tìm tọa độ điểm M, ta cần hiểu rằng vectơ $\overrightarrow{MO}$ từ điểm M đến gốc tọa độ O (0,0,0) được cho là $2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k}$. Điều này có nghĩa là: $\overrightarrow{MO} = (-3, 2, 1)$ Tọa độ của điểm M sẽ là tọa độ của điểm O trừ đi tọa độ của vectơ $\overrightarrow{MO}$: Giả sử tọa độ của điểm M là $(x, y, z)$, thì ta có: $\overrightarrow{MO} = (0 - x, 0 - y, 0 - z) = (-x, -y, -z)$ So sánh với $\overrightarrow{MO} = (-3, 2, 1)$, ta nhận thấy: $-x = -3 \Rightarrow x = 3$ $-y = 2 \Rightarrow y = -2$ $-z = 1 \Rightarrow z = -1$ Do đó, tọa độ của điểm M là $(3, -2, -1)$. Vậy đáp án đúng là: B. $M(3, -2, -1)$ Câu 8: Để tính tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \), ta sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của một tam giác trong không gian. Nếu \( A(x_1, y_1, z_1) \), \( B(x_2, y_2, z_2) \), và \( C(x_3, y_3, z_3) \) là ba đỉnh của tam giác, thì tọa độ trọng tâm \( G \) sẽ là: \[ G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right) \] Áp dụng vào bài toán này, ta có: - \( A(2, 1, -4) \) - \( B(5, -3, 3) \) - \( C(-1, -1, 10) \) Tọa độ trọng tâm \( G \) sẽ là: \[ G\left(\frac{2 + 5 + (-1)}{3}, \frac{1 + (-3) + (-1)}{3}, \frac{-4 + 3 + 10}{3}\right) \] Ta thực hiện các phép tính: \[ G\left(\frac{2 + 5 - 1}{3}, \frac{1 - 3 - 1}{3}, \frac{-4 + 3 + 10}{3}\right) \] \[ G\left(\frac{6}{3}, \frac{-3}{3}, \frac{9}{3}\right) \] \[ G(2, -1, 3) \] Vậy tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) là \( G(2, -1, 3) \). Đáp án đúng là: B. \( G(2, -1, 3) \). Câu 9: Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow u + \overrightarrow v$, ta thực hiện phép cộng từng thành phần tương ứng của hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow u$ là $(1; 2; -2)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow v$ là $(2; -2; 3)$. Ta thực hiện phép cộng từng thành phần: - Thành phần thứ nhất: $1 + 2 = 3$ - Thành phần thứ hai: $2 + (-2) = 0$ - Thành phần thứ ba: $-2 + 3 = 1$ Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow u + \overrightarrow v$ là $(3; 0; 1)$. Do đó, đáp án đúng là: C. $(3; 0; 1)$. Câu 10: Để tìm tọa độ trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( AB \), ta sử dụng công thức tính tọa độ trung điểm của hai điểm trong không gian. Công thức tọa độ trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( AB \) là: \[ I\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2}\right) \] Trong đó: - \( A(x_A, y_A, z_A) = A(3, -2, 3) \) - \( B(x_B, y_B, z_B) = B(-1, 2, 5) \) Áp dụng công thức trên, ta có: \[ I\left(\frac{3 + (-1)}{2}, \frac{-2 + 2}{2}, \frac{3 + 5}{2}\right) \] \[ I\left(\frac{2}{2}, \frac{0}{2}, \frac{8}{2}\right) \] \[ I(1, 0, 4) \] Vậy tọa độ trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( AB \) là \( I(1, 0, 4) \). Đáp án đúng là: B. \( I(1, 0, 4) \) Câu 11: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là khoảng cách giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dãy số liệu. Trong bảng tần số ghép nhóm, ta thấy: - Khoảng tuổi nhỏ nhất là [20;30) - Khoảng tuổi lớn nhất là [60;70) Do đó, giá trị nhỏ nhất trong dãy số liệu là 20 và giá trị lớn nhất là 70. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[ 70 - 20 = 50 \] Vậy đáp án đúng là: B. 50. Câu 12. Để tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta cần xác định các giá trị Q1 (tứ phân vị thứ nhất) và Q3 (tứ phân vị thứ ba). Sau đó, khoảng tứ phân vị sẽ là Q3 - Q1. Bước 1: Xác định vị trí của Q1 và Q3 - Tổng số lượng dữ liệu \( n = 60 \) - Vị trí của Q1: \( \frac{n}{4} = \frac{60}{4} = 15 \) - Vị trí của Q3: \( \frac{3n}{4} = \frac{3 \times 60}{4} = 45 \) Bước 2: Tìm giá trị của Q1 và Q3 Tìm Q1: - Tần số lũy kế của nhóm [40; 50) là 3 - Tần số lũy kế của nhóm [50; 60) là 3 + 6 = 9 - Tần số lũy kế của nhóm [60; 70) là 9 + 19 = 28 Vị trí 15 nằm trong nhóm [60; 70), vì 9 < 15 < 28. Sử dụng công thức để tính Q1: \[ Q1 = 60 + \left( \frac{15 - 9}{19} \right) \times 10 \] \[ Q1 = 60 + \left( \frac{6}{19} \right) \times 10 \] \[ Q1 = 60 + 3,1579 \] \[ Q1 \approx 63,16 \] Tìm Q3: - Tần số lũy kế của nhóm [60; 70) là 28 - Tần số lũy kế của nhóm [70; 80) là 28 + 23 = 51 - Tần số lũy kế của nhóm [80; 90) là 51 + 9 = 60 Vị trí 45 nằm trong nhóm [70; 80), vì 28 < 45 < 51. Sử dụng công thức để tính Q3: \[ Q3 = 70 + \left( \frac{45 - 28}{23} \right) \times 10 \] \[ Q3 = 70 + \left( \frac{17}{23} \right) \times 10 \] \[ Q3 = 70 + 7,3913 \] \[ Q3 \approx 77,39 \] Bước 3: Tính khoảng tứ phân vị \[ Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 \] \[ Khoảng tứ phân vị = 77,39 - 63,16 \] \[ Khoảng tứ phân vị \approx 14,23 \] Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 14,23. Đáp án đúng là: C. 14,23.