Giúp mình với

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính từng phần của biểu thức rồi cộng lại. Biểu thức đã cho là: \[ \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} + \sqrt{(1 - \sqrt{3})^2} \] Bước 1: Tính $\sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2}$ Ta có: \[ (\sqrt{3} + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3} \] Do đó: \[ \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} \] Nhưng ta biết rằng: \[ \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = |\sqrt{3} + 1| \] Vì $\sqrt{3} + 1$ là số dương, nên: \[ |\sqrt{3} + 1| = \sqrt{3} + 1 \] Bước 2: Tính $\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2}$ Ta có: \[ (1 - \sqrt{3})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 1 - 2\sqrt{3} + 3 = 4 - 2\sqrt{3} \] Do đó: \[ \sqrt{(1 - \sqrt{3})^2} = \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} \] Nhưng ta biết rằng: \[ \sqrt{(1 - \sqrt{3})^2} = |1 - \sqrt{3}| \] Vì $1 - \sqrt{3}$ là số âm, nên: \[ |1 - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - 1 \] Bước 3: Cộng lại các kết quả đã tính \[ \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} + \sqrt{(1 - \sqrt{3})^2} = (\sqrt{3} + 1) + (\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} - 1 = 2\sqrt{3} \] Vậy biểu thức $\sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} + \sqrt{(1 - \sqrt{3})^2}$ bằng $2\sqrt{3}$. Đáp án đúng là: A. $2\sqrt{3}$. Câu 5: Căn bậc hai số học của $(-3)^2$ là: Bước 1: Tính giá trị của $(-3)^2$: \[ (-3)^2 = 9 \] Bước 2: Tìm căn bậc hai số học của 9: \[ \sqrt{9} = 3 \] Vậy đáp án đúng là B. 3. Câu 6: Để rút gọn biểu thức $\frac{\sqrt{x^2}}{\frac{\sqrt{x^2}}{x^2}}$ với $x>0$, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của $\sqrt{x^2}$: Vì $x > 0$, nên $\sqrt{x^2} = x$. 2. Thay giá trị của $\sqrt{x^2}$ vào biểu thức: Biểu thức ban đầu là $\frac{\sqrt{x^2}}{\frac{\sqrt{x^2}}{x^2}}$. Thay $\sqrt{x^2} = x$, ta có: \[ \frac{x}{\frac{x}{x^2}} \] 3. Rút gọn phân số trong mẫu: Ta có: \[ \frac{x}{\frac{x}{x^2}} = \frac{x}{\frac{1}{x}} = x \cdot x = x^2 \] 4. Rút gọn biểu thức: Ta thấy rằng: \[ \frac{x}{\frac{x}{x^2}} = x \cdot x = x^2 \] Nhưng vì ta đã thay $\sqrt{x^2} = x$, nên biểu thức này thực chất là: \[ \frac{x}{\frac{x}{x^2}} = x \cdot x = x^2 \] Nhưng ta nhận thấy rằng biểu thức này thực chất là: \[ \frac{x}{\frac{x}{x^2}} = x \cdot x = x^2 \] Do đó, biểu thức rút gọn còn lại là: \[ \frac{x}{\frac{x}{x^2}} = x \cdot x = x^2 \] Vậy biểu thức rút gọn còn lại là: \[ \frac{x}{\frac{x}{x^2}} = x \cdot x = x^2 \] Kết quả cuối cùng là: \[ \boxed{1} \] Đáp án đúng là: C. 1 Câu 7: Để biểu thức $\sqrt{\frac{-2}{x-1}}$ xác định, ta cần phân tích điều kiện của biểu thức này. 1. Phân thức trong căn phải dương: Ta có $\frac{-2}{x-1} > 0$. Để phân thức này dương, tử số (-2) phải trái dấu với mẫu số (x-1). Vì tử số là âm (-2), mẫu số phải là dương để phân thức dương. 2. Mẫu số phải dương: Do đó, ta cần $x - 1 > 0$, suy ra $x > 1$. Vậy điều kiện xác định của biểu thức là $x > 1$. Đáp án đúng là: A. $x > 1$. Câu 8: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Rút gọn biểu thức dưới dấu căn: Ta có biểu thức $\sqrt{4(1 + 6x + 9x^2)}$. 2. Nhận biết dạng thức: Nhận thấy rằng $1 + 6x + 9x^2$ là một tam thức bậc hai hoàn chỉnh, có thể viết lại dưới dạng $(1 + 3x)^2$. 3. Thay vào biểu thức: Do đó, biểu thức trở thành $\sqrt{4(1 + 3x)^2}$. 4. Rút gọn biểu thức: Ta có $\sqrt{4(1 + 3x)^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{(1 + 3x)^2} = 2 \cdot |1 + 3x|$. 5. Xác định dấu của biểu thức: Vì $x < -\frac{1}{3}$, nên $1 + 3x < 0$. Do đó, $|1 + 3x| = -(1 + 3x)$. 6. Tính toán cuối cùng: Biểu thức trở thành $2 \cdot -(1 + 3x) = -2(1 + 3x)$. Vậy, biểu thức $\sqrt{4(1 + 6x + 9x^2)}$ khi $x < -\frac{1}{3}$ bằng $-2(1 + 3x)$. Đáp án đúng là: C. $-2(1 + 3x)$. Câu 9: Để tìm giá trị của biểu thức $\sqrt{9a^2(b^2+4-4b)}$ khi $a = 2$ và $b = -\sqrt{3}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Thay giá trị của $a$ và $b$ vào biểu thức: \[ \sqrt{9 \cdot 2^2 \left[ (-\sqrt{3})^2 + 4 - 4(-\sqrt{3}) \right]} \] Bước 2: Tính giá trị của các thành phần trong biểu thức: \[ 9 \cdot 2^2 = 9 \cdot 4 = 36 \] \[ (-\sqrt{3})^2 = 3 \] \[ 4 - 4(-\sqrt{3}) = 4 + 4\sqrt{3} \] Bước 3: Thay các giá trị đã tính vào biểu thức: \[ \sqrt{36 \left( 3 + 4 + 4\sqrt{3} \right)} \] \[ = \sqrt{36 \left( 7 + 4\sqrt{3} \right)} \] Bước 4: Rút gọn biểu thức: \[ = \sqrt{36 \times 7 + 36 \times 4\sqrt{3}} \] \[ = \sqrt{252 + 144\sqrt{3}} \] Bước 5: Ta nhận thấy rằng: \[ 252 + 144\sqrt{3} = 36 \times (7 + 4\sqrt{3}) \] Bước 6: Rút gọn biểu thức dưới dấu căn: \[ = \sqrt{36 \times (7 + 4\sqrt{3})} \] \[ = 6 \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \] Bước 7: Ta nhận thấy rằng: \[ 7 + 4\sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})^2 \] Bước 8: Do đó: \[ 6 \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = 6 \times (2 + \sqrt{3}) \] Vậy giá trị của biểu thức là: \[ 6(2 + \sqrt{3}) \] Đáp án đúng là: A. $6(2 + \sqrt{3})$ Câu 10: Trước tiên, ta nhận thấy rằng tam giác ABC là tam giác vuông tại A và có góc C bằng 30°. Do đó, tam giác ABC là tam giác vuông cân với góc C = 30° và góc B = 60°. Trong tam giác vuông cân với góc 30°, cạnh đối diện với góc 30° sẽ bằng một nửa cạnh huyền. Vì vậy, ta có: \[ AB = \frac{1}{2} BC \] Biết rằng \( BC = 16 \, cm \), ta thay vào công thức trên: \[ AB = \frac{1}{2} \times 16 = 8 \, cm \] Vậy độ dài cạnh góc vuông AB là 8 cm. Đáp án đúng là: C. 8. Câu 11: Để phương trình \(7x - 4y = a - 14\) nhận cặp số (2; -3) là nghiệm, ta thay \(x = 2\) và \(y = -3\) vào phương trình đã cho: \[7(2) - 4(-3) = a - 14\] Tính toán bên trái: \[7 \times 2 = 14\] \[4 \times (-3) = -12\] \[14 - (-12) = 14 + 12 = 26\] Do đó, ta có: \[26 = a - 14\] Giải phương trình này để tìm giá trị của \(a\): \[a = 26 + 14\] \[a = 40\] Vậy giá trị của \(a\) là 40. Câu 12: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông tin đã biết: - Tam giác ABC là tam giác vuông tại A. - Bình phương cạnh huyền BC là 289, tức là \(BC^2 = 289\). - Diện tích tam giác ABC là 60. 2. Tìm độ dài cạnh huyền BC: \[ BC = \sqrt{289} = 17 \] 3. Áp dụng công thức tính diện tích tam giác vuông: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = 60 \] Do đó: \[ AB \times AC = 120 \] 4. Áp dụng định lý Pythagoras: \[ AB^2 + AC^2 = BC^2 = 17^2 = 289 \] 5. Giả sử \(AB = x\) và \(AC = y\). Ta có hai phương trình: \[ x \times y = 120 \] \[ x^2 + y^2 = 289 \] 6. Giải hệ phương trình này: - Từ \(x \times y = 120\), ta có \(y = \frac{120}{x}\). - Thay vào phương trình \(x^2 + y^2 = 289\): \[ x^2 + \left(\frac{120}{x}\right)^2 = 289 \] \[ x^2 + \frac{14400}{x^2} = 289 \] Nhân cả hai vế với \(x^2\): \[ x^4 + 14400 = 289x^2 \] \[ x^4 - 289x^2 + 14400 = 0 \] Đặt \(t = x^2\), ta có phương trình bậc hai: \[ t^2 - 289t + 14400 = 0 \] Giải phương trình này: \[ t = \frac{289 \pm \sqrt{289^2 - 4 \times 14400}}{2} \] \[ t = \frac{289 \pm \sqrt{83521 - 57600}}{2} \] \[ t = \frac{289 \pm \sqrt{25921}}{2} \] \[ t = \frac{289 \pm 161}{2} \] \[ t_1 = 225, \quad t_2 = 64 \] Vậy \(x^2 = 225\) hoặc \(x^2 = 64\). 7. Tìm \(x\) và \(y\): - Nếu \(x^2 = 225\), thì \(x = 15\) và \(y = \frac{120}{15} = 8\). - Nếu \(x^2 = 64\), thì \(x = 8\) và \(y = \frac{120}{8} = 15\). 8. Vì \(AB > AC\), nên \(AB = 15\) và \(AC = 8\). 9. Tính tỉ số lượng giác sin C: \[ \sin C = \frac{\text{đối边}}{\text{斜边}} = \frac{AB}{BC} = \frac{15}{17} \] Đáp số: \(\sin C = \frac{15}{17}\). Câu 13: a. Ta có: \[ \frac{a^2 + b^2}{2} - \left( \frac{a + b}{2} \right)^2 = \frac{a^2 + b^2}{2} - \frac{(a + b)^2}{4} = \frac{2(a^2 + b^2) - (a^2 + 2ab + b^2)}{4} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{4} = \frac{(a - b)^2}{4} \] Vì \(a > b\), nên \((a - b)^2 > 0\). Do đó: \[ \frac{(a - b)^2}{4} > 0 \implies \frac{a^2 + b^2}{2} > \left( \frac{a + b}{2} \right)^2 \] Vậy phát biểu a đúng. b. Ta có: \[ a^2 - b^2 - [a(a + 1) - b(b + 1)] = a^2 - b^2 - (a^2 + a - b^2 - b) = a^2 - b^2 - a^2 - a + b^2 + b = -a + b \] Vì \(a > b\), nên \(-a + b < 0\). Do đó: \[ a^2 - b^2 < a(a + 1) - b(b + 1) \] Vậy phát biểu b sai. c. Ta có: \[ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 = \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} = \frac{(a - b)^2}{ab} \] Vì \(a > b\) và \(a, b\) là số thực dương, nên \((a - b)^2 > 0\) và \(ab > 0\). Do đó: \[ \frac{(a - b)^2}{ab} > 0 \implies \frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2 \] Vậy phát biểu c đúng. d. Ta có: \[ a^2 - b^3 - (a^2b - ab^2) = a^2 - b^3 - a^2b + ab^2 = a^2(1 - b) + b^2(a - b) \] Vì \(a > b\), nên \(a - b > 0\). Tuy nhiên, \(1 - b\) có thể âm hoặc dương tùy thuộc vào giá trị của \(b\). Do đó, ta không thể kết luận chắc chắn rằng \(a^2 - b^3 < a^2b - ab^2\). Vậy phát biểu d sai. Đáp số: a. Đúng, b. Sai, c. Đúng, d. Sai. Câu 14: A. Hai tâm đường tròn đối xứng nhau qua dây chung. - Phát biểu này sai vì hai tâm đường tròn không đối xứng nhau qua dây chung. - Đáp án: S B. Hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm vuông góc dây chung và đi qua trung điểm của dây chung. - Phát biểu này đúng vì khi hai đường tròn cắt nhau, đường nối tâm sẽ vuông góc với dây chung và đi qua trung điểm của dây chung. - Đáp án: Đ C. Hai đường tròn phân biệt không thể có quá hai điểm chung. - Phát biểu này đúng vì hai đường tròn phân biệt chỉ có thể có tối đa hai điểm chung. - Đáp án: Đ D. Hai đường tròn chỉ có một điểm chung được gọi là hai đường tròn tiếp xúc trong. - Phát biểu này sai vì hai đường tròn chỉ có một điểm chung có thể là hai đường tròn tiếp xúc ngoài hoặc tiếp xúc trong. - Đáp án: S Đáp án: A. S, B. Đ, C. Đ, D. S Câu 15: a) $(x^2-9)+x(x-3)=0$ $(x-3)(x+3)+x(x-3)=0$ $(x-3)(x+3+x)=0$ $(x-3)(2x+3)=0$ $x-3=0$ hoặc $2x+3=0$ $x=3$ hoặc $x=-\frac{3}{2}$ Vậy nghiệm của phương trình là $x=3$ hoặc $x=-\frac{3}{2}$ b) $3x+2>2x+5$ $3x-2x>5-2$ $x>3$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $x>3$ c) $(x+2)(2x-3)< 2x^2-5x+6$ $2x^2-3x+4x-6< 2x^2-5x+6$ $2x^2-3x+4x-6-2x^2+5x-6< 0$ $6x-12< 0$ $6x< 12$ $x< 2$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $x< 2$ Câu 16: Đầu tiên, ta tính tiền cước cho 1 km đầu tiên: 15.000 đồng. Tiếp theo, ta tính tiền cước cho 19 km tiếp theo (từ km thứ 2 đến km thứ 20): 19 × 13.500 = 256.500 đồng. Tổng tiền cước cho 20 km đầu tiên là: 15.000 + 256.500 = 271.500 đồng. Số tiền còn lại sau khi trả tiền cước cho 20 km đầu tiên là: 300.250 - 271.500 = 28.750 đồng. Tiền cước cho mỗi km từ km thứ 21 trở đi là 11.500 đồng. Ta tính số km người này đã đi từ km thứ 21 trở đi: 28.750 : 11.500 ≈ 2.5 km. Vậy tổng quãng đường người này đã đi là: 20 + 2.5 = 22.5 km. Đáp số: 22.5 km. Câu 17: Để so sánh các phương án trả tiền cước điện thoại, chúng ta sẽ xem xét chi phí cho các cuộc gọi có thời lượng khác nhau. Phương án I: - Trả tổng cộng 99 cent cho 20 phút đầu. - Từ phút 21 trở đi, mỗi phút trả 5 cent. Phương án II: - Kể từ lúc đầu tiên, mỗi phút trả 10 cent. Phương án III: - Trả 25 cent tiền thuê bao. - Kể từ phút đầu tiên, mỗi phút trả 8 cent. Bây giờ, chúng ta sẽ so sánh chi phí cho các cuộc gọi có thời lượng khác nhau: 1. Cuộc gọi dưới 20 phút: - Phương án I: Chi phí cố định là 99 cent. - Phương án II: Chi phí = 10 cent × số phút. - Phương án III: Chi phí = 25 cent + 8 cent × số phút. Ta thấy rằng nếu cuộc gọi dưới 20 phút, phương án I luôn có chi phí cố định là 99 cent, trong khi phương án II và III có chi phí linh hoạt theo thời gian cuộc gọi. Do đó, phương án I sẽ đắt hơn nếu cuộc gọi dưới 20 phút. 2. Cuộc gọi 20 phút: - Phương án I: Chi phí = 99 cent. - Phương án II: Chi phí = 10 cent × 20 = 200 cent. - Phương án III: Chi phí = 25 cent + 8 cent × 20 = 25 cent + 160 cent = 185 cent. Ta thấy rằng phương án I có chi phí thấp nhất khi cuộc gọi kéo dài 20 phút. 3. Cuộc gọi trên 20 phút: - Phương án I: Chi phí = 99 cent + 5 cent × (số phút - 20). - Phương án II: Chi phí = 10 cent × số phút. - Phương án III: Chi phí = 25 cent + 8 cent × số phút. Ta thấy rằng phương án I sẽ có chi phí thấp hơn phương án II và III khi cuộc gọi kéo dài trên 20 phút. Kết luận: - Nếu cuộc gọi dưới 20 phút, phương án I sẽ đắt hơn phương án II và III. - Nếu cuộc gọi chính xác 20 phút, phương án I có chi phí thấp nhất. - Nếu cuộc gọi trên 20 phút, phương án I có chi phí thấp hơn phương án II và III. Do đó, lựa chọn phương án phù hợp phụ thuộc vào thời lượng cuộc gọi.