sosssssssssss

Câu 1 1) $\left\{\begin{array}l2x+y=1\\x-y=5\end{array}\right.$ Cộng vế theo vế ta có: $3x = 6$ $x = 2$ Thay vào $(1)$ ta có: $y = -3$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(2; -3)$ 2) $\left\{\begin{array}l2(x+3)-y=7\\3x+2(y+1)=2\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}l2x-y=1\\3x+2y=0\end{array}\right.$ Nhân phương trình thứ nhất với $2$ rồi cộng vế theo vế ta có: $7x = 2$ $x = \frac{2}{7}$ Thay vào $(1)$ ta có: $y = -\frac{3}{7}$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(\frac{2}{7}; -\frac{3}{7})$ 3) $\left\{\begin{array}l\frac3{x+1}+\frac1{y-2}=2\\\frac2{x+1}-\frac3{y-2}=5\end{array}\right.$ Điều kiện xác định: $x \neq -1; y \neq 2$ Nhân phương trình thứ nhất với $3$ rồi cộng vế theo vế ta có: $\frac{11}{x+1} = 11$ $x = 0$ Thay vào $(1)$ ta có: $y = 3$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(0; 3)$ Câu II 1) Gọi số cần tìm là $\overline{ab}$ (đk: a > 0; a, b < 10) Theo đề bài ta có: $a + b = 10$ $\overline{ba} - \overline{ab} = 54$ $\Rightarrow 10b + a - 10a - b = 54$ $\Rightarrow b - a = 6$ Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l} a + b = 10 \\ b - a = 6 \end{array}\right.$ Cộng vế với vế ta có: $2b = 16$ $\Rightarrow b = 8$ Thay vào $a + b = 10$ ta có $a = 2$ Vậy số cần tìm là 28. 2) Gọi vận tốc xe khách là $v_{kh}$ (km/h), vận tốc xe tải là $v_{t}$ (km/h) (đk: $v_{kh} > 0$, $v_{t} > 0$) Theo đề bài ta có: $v_{kh} - v_{t} = 10$ Xe khách đi trước xe tải 1 giờ, nên khi hai xe gặp nhau thì xe khách đã đi được 5 giờ, xe tải đã đi được 4 giờ. Tổng quãng đường hai xe đi được là 500 km, nên ta có: $5v_{kh} + 4v_{t} = 500$ Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l} v_{kh} - v_{t} = 10 \\ 5v_{kh} + 4v_{t} = 500 \end{array}\right.$ Nhân phương trình thứ nhất với 4 rồi cộng vế với vế với phương trình thứ hai ta có: $9v_{kh} = 540$ $\Rightarrow v_{kh} = 60$ Thay vào $v_{kh} - v_{t} = 10$ ta có $v_{t} = 50$ Vậy vận tốc xe khách là 60 km/h, vận tốc xe tải là 50 km/h. Câu III 1) Tính giá trị biểu thức: \[ A = \frac{2 \sin 60^\circ}{\sqrt{3}} + \sin 52^\circ + \sqrt{3} \cos 30^\circ - \cos 38^\circ \] Ta biết: \[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Thay vào biểu thức: \[ A = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} + \sin 52^\circ + \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos 38^\circ \] \[ A = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \sin 52^\circ + \frac{3}{2} - \cos 38^\circ \] \[ A = 1 + \sin 52^\circ + \frac{3}{2} - \cos 38^\circ \] Biểu thức $\sin 52^\circ$ và $\cos 38^\circ$ là các giá trị cụ thể nhưng không thể tính chính xác bằng tay, nên ta giữ nguyên chúng: \[ A = 1 + \sin 52^\circ + \frac{3}{2} - \cos 38^\circ \] \[ A = 1 + \frac{3}{2} + \sin 52^\circ - \cos 38^\circ \] \[ A = \frac{2}{2} + \frac{3}{2} + \sin 52^\circ - \cos 38^\circ \] \[ A = \frac{5}{2} + \sin 52^\circ - \cos 38^\circ \] 2) Một khúc sông rộng khoảng 350 mét. Một chiếc thuyền khi qua sông bị dòng nước đẩy lệch đi một góc $45^\circ$. Hỏi chiếc thuyền phải đi quãng đường bao nhiêu mét để sang được bờ bên kia? Chiếc thuyền bị dòng nước đẩy lệch đi một góc $45^\circ$, nghĩa là hình thành một tam giác vuông cân với góc $45^\circ$. Chiều rộng của khúc sông là một cạnh của tam giác này. Trong tam giác vuông cân, cạnh huyền (quãng đường thuyền đi) gấp đôi chiều rộng của khúc sông chia cho $\sqrt{2}$: \[ \text{Quãng đường thuyền đi} = 350 \times \sqrt{2} \] Tính toán: \[ 350 \times \sqrt{2} \approx 350 \times 1.414 = 494.9 \] Vậy, chiếc thuyền phải đi quãng đường khoảng 494.9 mét để sang được bờ bên kia. Đáp số: 1) \( A = \frac{5}{2} + \sin 52^\circ - \cos 38^\circ \) 2) Chiếc thuyền phải đi quãng đường khoảng 494.9 mét. Câu IV 1) Trong tam giác vuông \( ABH \), ta có: \[ BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{6^2 - 5^2} = \sqrt{36 - 25} = \sqrt{11} \approx 3.32 \text{ cm} \] Số đo góc \( \widehat{B} \): \[ \sin \widehat{B} = \frac{AH}{AB} = \frac{5}{6} \] \[ \widehat{B} \approx \arcsin \left( \frac{5}{6} \right) \approx 56^\circ \] 2) Trong tam giác vuông \( ACH \), ta có: \[ AC = \frac{AH \times AB}{BH} = \frac{5 \times 6}{3.32} \approx 9.04 \text{ cm} \] 3) Trong tam giác \( ADC \), ta có: \[ \widehat{DAC} = 30^\circ \] Diện tích tam giác \( ADC \): \[ S_{ADC} = \frac{1}{2} \times AC \times AD \times \sin \widehat{DAC} \] \[ AD = AC \times \cos 30^\circ = 9.04 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 7.81 \text{ cm} \] \[ S_{ADC} = \frac{1}{2} \times 9.04 \times 7.81 \times \sin 30^\circ \approx \frac{1}{2} \times 9.04 \times 7.81 \times \frac{1}{2} \approx 17.61 \text{ cm}^2 \] Đáp số: 1) \( BH \approx 3.32 \text{ cm}, \widehat{B} \approx 56^\circ \) 2) \( AC \approx 9.04 \text{ cm} \) 3) Diện tích \( \Delta ADC \approx 17.61 \text{ cm}^2 \) Câu V Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần điều kiện: \[ (a+1)(a-1) \neq 1 \] \[ a^2 - 1 \neq 1 \] \[ a^2 \neq 2 \] \[ a \neq \sqrt{2} \text{ và } a \neq -\sqrt{2} \] Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình để tìm \(x\) và \(y\): \[ (a+1)x - y = a+1 \quad (1) \] \[ x + (a-1)y = 2 \quad (2) \] Nhân phương trình (1) với \(a-1\) và nhân phương trình (2) với \(a+1\): \[ (a+1)(a-1)x - (a-1)y = (a+1)(a-1) \] \[ (a+1)x + (a+1)(a-1)y = 2(a+1) \] Cộng hai phương trình này lại: \[ (a+1)(a-1)x + (a+1)x = (a+1)(a-1) + 2(a+1) \] \[ (a^2 - 1 + a + 1)x = a^2 - 1 + 2a + 2 \] \[ a^2 x + ax = a^2 + 2a + 1 \] \[ x(a^2 + a) = a^2 + 2a + 1 \] \[ x = \frac{a^2 + 2a + 1}{a^2 + a} \] \[ x = \frac{(a+1)^2}{a(a+1)} \] \[ x = \frac{a+1}{a} \] Thay \(x = \frac{a+1}{a}\) vào phương trình (2): \[ \frac{a+1}{a} + (a-1)y = 2 \] \[ (a-1)y = 2 - \frac{a+1}{a} \] \[ (a-1)y = \frac{2a - (a+1)}{a} \] \[ (a-1)y = \frac{2a - a - 1}{a} \] \[ (a-1)y = \frac{a - 1}{a} \] \[ y = \frac{1}{a} \] Ta có nghiệm của hệ phương trình là: \[ x = \frac{a+1}{a}, \quad y = \frac{1}{a} \] Để \(x + y\) đạt giá trị nhỏ nhất: \[ x + y = \frac{a+1}{a} + \frac{1}{a} = \frac{a+1+1}{a} = \frac{a+2}{a} = 1 + \frac{2}{a} \] Giá trị nhỏ nhất của \(1 + \frac{2}{a}\) xảy ra khi \(\frac{2}{a}\) nhỏ nhất, tức là khi \(a\) lớn nhất. Do đó, ta chọn \(a\) lớn nhất trong khoảng \(a \neq \sqrt{2}\) và \(a \neq -\sqrt{2}\). Vậy, giá trị nhỏ nhất của \(x + y\) đạt được khi \(a\) lớn nhất, cụ thể là \(a \to \infty\). Đáp số: \(a \to \infty\)