giúp e câu 11 12

Câu 11. Để đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x + m$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt, ta cần tìm các giá trị của $m$ sao cho phương trình $x^3 - 3x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt. Bước 1: Xét hàm số $f(x) = x^3 - 3x + m$. Ta tìm đạo hàm của hàm số này: \[ f'(x) = 3x^2 - 3 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng cách giải phương trình $f'(x) = 0$: \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ (x - 1)(x + 1) = 0 \] \[ x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \] Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm $f'(x)$ trên các khoảng $( -\infty, -1 )$, $( -1, 1 )$, và $( 1, +\infty )$: - Trên khoảng $( -\infty, -1 )$: $f'(x) > 0$, hàm số đồng biến. - Trên khoảng $( -1, 1 )$: $f'(x) < 0$, hàm số nghịch biến. - Trên khoảng $( 1, +\infty )$: $f'(x) > 0$, hàm số đồng biến. Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: - Tại $x = -1$: $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + m = -1 + 3 + m = 2 + m$ - Tại $x = 1$: $f(1) = (1)^3 - 3(1) + m = 1 - 3 + m = -2 + m$ Bước 5: Để đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt, hàm số phải có một cực đại và một cực tiểu, trong đó một trong hai giá trị cực trị phải bằng 0. Do đó, ta có hai trường hợp: - $2 + m = 0 \Rightarrow m = -2$ - $-2 + m = 0 \Rightarrow m = 2$ Vậy, các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x + m$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt là $m = 2$ hoặc $m = -2$. Đáp án đúng là: B. $m = \pm 2$. Câu 12. Trước tiên, ta xác định tọa độ các đỉnh của hình lập phương ABCD.A'B'C'D': - A(0, 0, 0) - B(2, 0, 0) - C(2, 2, 0) - D(0, 2, 0) - A'(0, 0, 2) - B'(2, 0, 2) - C'(2, 2, 2) - D'(0, 2, 2) Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. $\overrightarrow{B^\prime D^\prime} = (2 - 0, 0 - 2, 2 - 2) = (2, -2, 0)$ B. $\overrightarrow{BD} = (0 - 2, 2 - 0, 0 - 0) = (-2, 2, 0)$ $\overrightarrow{AD^\prime} = (0 - 0, 2 - 0, 2 - 0) = (0, 2, 2)$ $\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{AD^\prime} = (-2 - 0, 2 - 2, 0 - 2) = (-2, 0, -2)$ C. $\overrightarrow{AC} = (2 - 0, 2 - 0, 0 - 0) = (2, 2, 0)$ $\overrightarrow{BD} = (-2, 2, 0)$ $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 2 \times (-2) + 2 \times 2 + 0 \times 0 = -4 + 4 + 0 = 0$ D. $\overrightarrow{A^\prime C} = (2 - 0, 2 - 0, 2 - 2) = (2, 2, 0)$ $\overrightarrow{AC} = (2, 2, 0)$ $\overrightarrow{A^\prime C} + \overrightarrow{AC} = (2 + 2, 2 + 2, 0 + 0) = (4, 4, 0)$ Như vậy, mệnh đề đúng là: C. $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{0}$ Đáp án: C. $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{0}$