hjekjdkwlekhr

Câu 2. Trước tiên, ta cần hiểu rõ về các tính chất của hình bình hành và các đại lượng liên quan trong câu hỏi. a) Ta có $\widehat{AB} - \widehat{AC} = \widehat{DA}$. - Trong hình bình hành, hai cặp góc đối đỉnh bằng nhau. - Do đó, $\widehat{AB} = \widehat{DC}$ và $\widehat{AC} = \widehat{DB}$. - Tuy nhiên, $\widehat{AB} - \widehat{AC}$ không bằng $\widehat{DA}$ vì $\widehat{DA}$ là góc ở đỉnh D, không liên quan trực tiếp đến phép trừ giữa hai góc ở đỉnh A và C. - Vậy mệnh đề này là sai. b) Ta có $\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BO}$. - Trong hình bình hành, tâm O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. - Do đó, $\overrightarrow{AO} = -\overrightarrow{OC}$ và $\overrightarrow{BO} = -\overrightarrow{OD}$. - Ta có $\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CO} = \overrightarrow{AO}$. - Vì $\overrightarrow{AO} \neq \overrightarrow{BO}$, nên mệnh đề này là sai. c) Ta có $\widehat{AO} - \overrightarrow{BO} = \widehat{CD}$. - Trong hình bình hành, các góc ở đỉnh A và B không liên quan trực tiếp đến phép trừ giữa hai góc ở đỉnh O. - Do đó, $\widehat{AO} - \overrightarrow{BO}$ không bằng $\widehat{CD}$. - Vậy mệnh đề này là sai. d) Ta có $\widehat{AO} + \overrightarrow{BO} = \widehat{BD}$. - Trong hình bình hành, các góc ở đỉnh A và B không liên quan trực tiếp đến phép cộng giữa hai góc ở đỉnh O. - Do đó, $\widehat{AO} + \overrightarrow{BO}$ không bằng $\widehat{BD}$. - Vậy mệnh đề này là sai. Kết luận: - Mệnh đề a) là sai. - Mệnh đề b) là sai. - Mệnh đề c) là sai. - Mệnh đề d) là sai. Câu 3. Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định dựa trên dữ liệu đã cho. Dữ liệu chiều cao của các học sinh trong tổ 2: 165, 177, 160, 169, 166, 152, 149, 157, 154 a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là 28 Khoảng biến thiên được tính bằng cách lấy giá trị lớn nhất trừ đi giá trị nhỏ nhất. Giá trị lớn nhất: 177 Giá trị nhỏ nhất: 149 Khoảng biến thiên = 177 - 149 = 28 Khẳng định này là đúng. b) Trung vị của mẫu số liệu trên là 166 Trung vị là giá trị ở giữa khi sắp xếp các số liệu theo thứ tự tăng dần. Sắp xếp các số liệu theo thứ tự tăng dần: 149, 152, 154, 157, 160, 165, 166, 169, 177 Vì có 9 số liệu, trung vị là số ở vị trí thứ 5 (số giữa). Trung vị = 160 Khẳng định này là sai. c) Khoảng tử phân vị của mẫu số liệu trên là 14,5 Khoảng tử phân vị (Interquartile Range - IQR) được tính bằng cách lấy Q3 (phân vị thứ ba) trừ đi Q1 (phân vị thứ nhất). Q1 là giá trị ở giữa của nửa đầu tiên (sau khi đã sắp xếp): 149, 152, 154, 157, 160, 165, 166, 169, 177 Nửa đầu tiên: 149, 152, 154, 157 Q1 = (152 + 154) / 2 = 153 Q3 là giá trị ở giữa của nửa sau (sau khi đã sắp xếp): 149, 152, 154, 157, 160, 165, 166, 169, 177 Nửa sau: 160, 165, 166, 169, 177 Q3 = (166 + 169) / 2 = 167,5 Khoảng tử phân vị = Q3 - Q1 = 167,5 - 153 = 14,5 Khẳng định này là đúng. d) Chiều cao trung bình của học sinh trong tổ là 162 Chiều cao trung bình được tính bằng cách cộng tất cả các giá trị rồi chia cho số lượng giá trị. Tổng chiều cao = 165 + 177 + 160 + 169 + 166 + 152 + 149 + 157 + 154 = 1499 Số lượng học sinh = 9 Chiều cao trung bình = 1499 / 9 ≈ 166,56 Khẳng định này là sai. Kết luận: - Khẳng định a) là đúng. - Khẳng định b) là sai. - Khẳng định c) là đúng. - Khẳng định d) là sai. Câu 4. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề a) $\widehat{A}=75^\circ$ - Tổng các góc trong một tam giác là $180^\circ$. - Ta có: \[ \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ \] Thay các giá trị đã biết: \[ \widehat{A} + 45^\circ + 60^\circ = 180^\circ \] \[ \widehat{A} = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ \] - Vậy mệnh đề a) là đúng. Mệnh đề b) $\frac{AB}{\sin A} = \frac{BC}{\sin B} = \frac{CA}{\sin C}$ - Đây là định lý sin, áp dụng cho tam giác ABC: \[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{CA}{\sin B} \] - Do đó, mệnh đề b) là sai vì nó viết sai thứ tự các cạnh và góc theo định lý sin. Mệnh đề c) $AC \approx 5,26 \text{ cm}$ - Áp dụng định lý sin: \[ \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \] Thay các giá trị đã biết: \[ \frac{AC}{\sin 45^\circ} = \frac{8}{\sin 75^\circ} \] Biết rằng $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ và $\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ \[ AC = 8 \cdot \frac{\sin 45^\circ}{\sin 75^\circ} = 8 \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = 8 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \] Tính toán cụ thể: \[ AC \approx 5,26 \text{ cm} \] - Vậy mệnh đề c) là đúng. Mệnh đề d) Chu vi tam giác ABC là $C \approx 21,03 \text{ cm}$ - Ta đã biết $BC = 8 \text{ cm}$ và $AC \approx 5,26 \text{ cm}$. - Áp dụng định lý sin để tính $AB$: \[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} \] Thay các giá trị: \[ \frac{AB}{\sin 60^\circ} = \frac{8}{\sin 75^\circ} \] Biết rằng $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$: \[ AB = 8 \cdot \frac{\sin 60^\circ}{\sin 75^\circ} = 8 \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = 8 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \] Tính toán cụ thể: \[ AB \approx 7,77 \text{ cm} \] - Chu vi tam giác ABC: \[ C = AB + BC + CA \approx 7,77 + 8 + 5,26 = 21,03 \text{ cm} \] - Vậy mệnh đề d) là đúng. Kết luận: - Mệnh đề a) là đúng. - Mệnh đề b) là sai. - Mệnh đề c) là đúng. - Mệnh đề d) là đúng. Câu 1. Để tập hợp \( A \) khác tập rỗng, ta cần \( m - 1 < 8 \), tức là \( m < 9 \). Để \( A \setminus B = \emptyset \), tập hợp \( A \) phải nằm hoàn toàn trong tập hợp \( B \). Điều này có nghĩa là \( m - 1 \geq 2 \), tức là \( m \geq 3 \). Tóm lại, ta có: \[ 3 \leq m < 9 \] Các giá trị nguyên của \( m \) thỏa mãn điều kiện trên là: 3, 4, 5, 6, 7, 8. Vậy có 6 giá trị nguyên của \( m \) để \( A \) khác tập rỗng và \( A \setminus B = \emptyset \). Đáp số: 6 giá trị nguyên của \( m \). Câu 2. Để tìm trực tâm \( H(a; b) \) của tam giác \( ABC \) với các đỉnh \( A(1;0) \), \( B(-1;1) \), và \( C(5;-1) \), ta cần tìm giao điểm của các đường cao hạ từ các đỉnh của tam giác. 1. Tìm phương trình đường thẳng \( BC \): - Vector \( \overrightarrow{BC} = (5 - (-1), -1 - 1) = (6, -2) \) - Phương trình tham số của đường thẳng \( BC \): \[ \begin{cases} x = -1 + 6t \\ y = 1 - 2t \end{cases} \] - Phương trình đoạn thẳng \( BC \): \[ y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \] 2. Tìm phương trình đường cao hạ từ đỉnh \( A \) đến cạnh \( BC \): - Đường cao hạ từ \( A \) vuông góc với \( BC \), do đó hệ số góc của đường cao này là \( 3 \) (vì \( -\frac{1}{3} \times 3 = -1 \)). - Phương trình đường cao qua \( A(1;0) \): \[ y = 3(x - 1) \Rightarrow y = 3x - 3 \] 3. Tìm phương trình đường thẳng \( AC \): - Vector \( \overrightarrow{AC} = (5 - 1, -1 - 0) = (4, -1) \) - Phương trình tham số của đường thẳng \( AC \): \[ \begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = -t \end{cases} \] - Phương trình đoạn thẳng \( AC \): \[ y = -\frac{1}{4}(x - 1) \] 4. Tìm phương trình đường cao hạ từ đỉnh \( B \) đến cạnh \( AC \): - Đường cao hạ từ \( B \) vuông góc với \( AC \), do đó hệ số góc của đường cao này là \( 4 \) (vì \( -\frac{1}{4} \times 4 = -1 \)). - Phương trình đường cao qua \( B(-1;1) \): \[ y = 4(x + 1) + 1 \Rightarrow y = 4x + 5 \] 5. Tìm giao điểm của hai đường cao: - Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} y = 3x - 3 \\ y = 4x + 5 \end{cases} \] - Đặt \( 3x - 3 = 4x + 5 \): \[ 3x - 4x = 5 + 3 \Rightarrow -x = 8 \Rightarrow x = -8 \] - Thay \( x = -8 \) vào \( y = 3x - 3 \): \[ y = 3(-8) - 3 = -24 - 3 = -27 \] Do đó, trực tâm \( H \) của tam giác \( ABC \) là \( H(-8; -27) \). 6. Tính \( T = a + b \): \[ T = -8 + (-27) = -35 \] Đáp số: \( T = -35 \) Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập phương trình và tìm giá trị lớn nhất của hàm số. Gọi số tấn chai chưa phân loại là \( x \) và số tấn chai đã phân loại là \( y \). Bước 1: Xác định các ràng buộc - Thời gian nhân công: \( 4x + y \leq 4200 \) - Thời gian chạy máy: \( 2x + y \leq 2400 \) Bước 2: Xác định hàm mục tiêu Lợi nhuận khi tái chế: \[ P = 10x + 30y \] Bước 3: Tìm các điểm đỉnh của đa giác xác định bởi các ràng buộc - Giao điểm của \( 4x + y = 4200 \) và \( 2x + y = 2400 \): \[ \begin{cases} 4x + y = 4200 \\ 2x + y = 2400 \end{cases} \] Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất: \[ 2x = 1800 \implies x = 900 \] Thay \( x = 900 \) vào \( 2x + y = 2400 \): \[ 2(900) + y = 2400 \implies y = 600 \] Điểm giao là \( (900, 600) \). - Giao điểm của \( 4x + y = 4200 \) và trục \( y \) (khi \( x = 0 \)): \[ y = 4200 \] Điểm giao là \( (0, 4200) \). - Giao điểm của \( 2x + y = 2400 \) và trục \( y \) (khi \( x = 0 \)): \[ y = 2400 \] Điểm giao là \( (0, 2400) \). - Giao điểm của \( 2x + y = 2400 \) và trục \( x \) (khi \( y = 0 \)): \[ 2x = 2400 \implies x = 1200 \] Điểm giao là \( (1200, 0) \). Bước 4: Tính giá trị của hàm mục tiêu tại các điểm đỉnh - Tại \( (0, 4200) \): \[ P = 10(0) + 30(4200) = 126000 \text{ USD} \] - Tại \( (0, 2400) \): \[ P = 10(0) + 30(2400) = 72000 \text{ USD} \] - Tại \( (1200, 0) \): \[ P = 10(1200) + 30(0) = 12000 \text{ USD} \] - Tại \( (900, 600) \): \[ P = 10(900) + 30(600) = 9000 + 18000 = 27000 \text{ USD} \] Bước 5: Kết luận Giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu là 126000 USD, đạt được khi \( x = 0 \) và \( y = 4200 \). Vậy, khi lợi nhuận đạt lớn nhất thì cần tái chế tất cả 4200 tấn chai đã phân loại. Đáp số: 4200 tấn chai đã phân loại.