giúp mik với ạ Câu 30 (1,0đ). Cho đường tròn (O) đường kính AB . Một điểm M thay đổi trên đường tròn (M,khác A và B). Vẽ đường tròn (M) tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến trên,AC,BD đến đường tròn (M).,c) Chứng minh: CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).,d) Chứng minh $AC+BD$ không đổi.

Question

Accepted Answer

a) • Do $\mathrm{AC}, \mathrm{AH}$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $(M) $ nên $MA $ là tia phân giác của góc $CMH $ hay $\widehat{A M C}=\widehat{A M H}$. Tương tự, ta chứng minh được $\widehat{B M D}=\widehat{B M H}$.
Xét đường tròn ( O ) đường kính $AB $ có $\widehat{A M B}=90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Mà $\widehat{A M H}+\widehat{B M H}=\widehat{A M B}=90^{\circ}$
Suy ra $\widehat{C M D}=\widehat{A M C}+\widehat{A M H}+\widehat{B M H}+\widehat{B M D}=2(\widehat{A M H}+\widehat{B M H})=2 \cdot 90^{\circ}=180^{\circ}$
Do đó ba điểm $\mathrm{C}, \mathrm{M}, \mathrm{D}$ thẳng hàng.
- Do tam giác $OBM $ cân tại $O $ (do $OM = OB $) nên $\widehat{O B M}=\widehat{O M B}$.

Suy ra $2 \widehat{O B M}+\widehat{B O M}=180^{\circ}$.
Ta lại có: $\widehat{A O M}+\widehat{B O M}=180^{\circ}$ nên $\widehat{A O M}=2 \widehat{O B M}$.
Lại có $B M$ là tia phân giác của góc $ABD $ (do hai tiếp tuyến BD , BH của ( O ) cắt nhau tại $B $) hay $\widehat{A B D}=2 \widehat{O B M}$.
Suy ra $\widehat{A O M}=\widehat{A B D}$.
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $\mathrm{OM} / / \mathrm{BD}$.
Mặt khác, $\mathrm{BD} \perp \mathrm{CD}($ do $\mathrm{BD} \perp \mathrm{CM})$ nên $CD $ vuông góc với $OM $ tại $M $ thuộc đường tròn $(O).$
Vậy $CD $ là tiếp tuyến của đường tròn $(O).$

b) Do $A C, A H$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $(M)$ nên $A C=A H$. Tương tự, ta chứng minh được $\mathrm{BD}=\mathrm{BH}$.

Do đó $A C+B D=A H+B H=A B$ (không đổi).