toán 8 giúp với ạ

5. Cho $\Delta ABC$ cân tại A, đường trung tuyến AH. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AC và AB. Gọi E là điểm sao cho I là trung điểm của HE. a) Chứng minh rằng tứ giác AHCE là hình chữ nhật, tứ giác HBAE là hình bình hành. b) Chứng minh tứ giác AKHI là hình thoi. c) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì để tứ giác AHCE là hình vuông? a) Chứng minh rằng tứ giác AHCE là hình chữ nhật, tứ giác HBAE là hình bình hành. - Vì $\Delta ABC$ cân tại A, nên đường trung tuyến AH cũng là đường cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC. Do đó, $\angle AHB = \angle AHC = 90^\circ$. - I là trung điểm của AC và E là điểm sao cho I là trung điểm của HE, tức là HE = 2IA. Điều này cho thấy HE song song và bằng AC (vì I là trung điểm của HE và AC). - Vậy tứ giác AHCE có hai cặp cạnh đối song song và vuông góc với nhau, do đó là hình chữ nhật. - Xét tứ giác HBAE: - AH = HC (vì AH là đường trung tuyến của tam giác cân). - HE = AC (do I là trung điểm của HE và AC). - Vì HE = AC và HE // AC, nên HE = AE và HE // AE. - Vậy tứ giác HBAE có hai cặp cạnh đối song song, do đó là hình bình hành. b) Chứng minh tứ giác AKHI là hình thoi. - Vì K và I lần lượt là trung điểm của AB và AC, nên AK = KB và AI = IC. - Trong tam giác cân ABC, đường trung tuyến AH cũng là đường phân giác của góc BAC, do đó $\angle BAH = \angle CAH$. - Vì AK = KB và AI = IC, nên AK = AI. - Tứ giác AKHI có các cạnh AK = AI và KH = HI (vì K và I là trung điểm của AB và AC), do đó là hình thoi. c) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì để tứ giác AHCE là hình vuông? - Để tứ giác AHCE là hình vuông, ta cần thêm điều kiện là AH = HC. - Điều này xảy ra khi tam giác ABC là tam giác đều, tức là AB = BC = CA. 6. Cho hình bình hành ABCD có $BC=2AB$. Gọi M là trung điểm của AD, N là trung điểm của CD. Gọi E là giao điểm của AM và BN. a) Chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình bình hành. - Vì M và N lần lượt là trung điểm của AD và CD, nên AM = MD và CN = ND. - Trong hình bình hành ABCD, ta có AB = CD và AD = BC. - Vì $BC = 2AB$, nên AD = 2AB, suy ra MD = AB. - Vậy AM = AB và CN = AB, do đó AM = CN. - Tứ giác AMCN có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, do đó là hình bình hành. b) Chứng minh rằng E là trung điểm của AM và BN. - Vì AMCN là hình bình hành, nên các đường chéo của nó cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. - Do đó, giao điểm E của AM và BN là trung điểm của cả hai đường chéo này. Đáp số: a) Tứ giác AHCE là hình chữ nhật, tứ giác HBAE là hình bình hành. b) Tứ giác AKHI là hình thoi. c) Tam giác ABC là tam giác đều. d) Tứ giác AMCN là hình bình hành. e) E là trung điểm của AM và BN.