Giúp mình với!

Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của \( m \) sao cho phương trình \( x - 1 = 3x + 5 \) có nghiệm dương. Bước 1: Giải phương trình \( x - 1 = 3x + 5 \) \( x - 1 = 3x + 5 \) \( x - 3x = 5 + 1 \) \( -2x = 6 \) \( x = -3 \) Bước 2: Kiểm tra điều kiện để phương trình có nghiệm dương Phương trình \( x - 1 = 3x + 5 \) có nghiệm \( x = -3 \), nhưng nghiệm này là âm, không thỏa mãn điều kiện nghiệm dương. Do đó, không có giá trị nào của \( m \) làm cho phương trình \( x - 1 = 3x + 5 \) có nghiệm dương. Vậy đáp án đúng là: D. Không có giá trị nào của \( m \) làm cho phương trình có nghiệm dương. Câu 2. Để cân bằng phương trình hóa học $4Fe + xO_2 \rightarrow yFe_2O_3$, chúng ta cần đảm bảo số lượng nguyên tử của mỗi nguyên tố ở hai vế của phương trình là bằng nhau. Bước 1: Xác định số lượng nguyên tử sắt (Fe) ở vế trái và vế phải: - Ở vế trái có 4 nguyên tử Fe. - Ở vế phải, mỗi phân tử Fe₂O₃ có 2 nguyên tử Fe. Do đó, để có 4 nguyên tử Fe, chúng ta cần 2 phân tử Fe₂O₃. Vậy y = 2. Bước 2: Xác định số lượng nguyên tử oxy (O) ở vế trái và vế phải: - Ở vế phải, mỗi phân tử Fe₂O₃ có 3 nguyên tử O. Với 2 phân tử Fe₂O₃, tổng số nguyên tử O là 2 × 3 = 6 nguyên tử O. - Ở vế trái, mỗi phân tử O₂ có 2 nguyên tử O. Để có 6 nguyên tử O, chúng ta cần 3 phân tử O₂. Vậy x = 3. Vậy phương trình hóa học cân bằng sẽ là: \[ 4Fe + 3O_2 \rightarrow 2Fe_2O_3 \] Do đó, các giá trị x và y lần lượt là 3 và 2. Đáp án đúng là: A. 3 và 2 Câu 3. Trước tiên, ta biết rằng tam giác MNP là tam giác vuông tại M và có góc P bằng 30°. Do đó, góc N sẽ là: \[ \widehat{N} = 90^\circ - \widehat{P} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \] Vậy nhận định A là đúng. Tiếp theo, ta xét các nhận định còn lại liên quan đến độ dài các cạnh của tam giác MNP. Trong tam giác vuông MNP, ta có: \[ \sin(30^\circ) = \frac{MN}{NP} \] \[ \cos(30^\circ) = \frac{MP}{NP} \] Biết rằng \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \) và \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), ta có: \[ \frac{1}{2} = \frac{MN}{NP} \] \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4}{NP} \] Từ đó, ta tính được NP: \[ NP = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \] Vậy nhận định D là đúng. Bây giờ, ta tính MN: \[ MN = \frac{1}{2} \times NP = \frac{1}{2} \times \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \] Vậy nhận định B là đúng và nhận định C là sai. Đáp án: C. \( MN = \frac{8\sqrt{3}}{3} \) Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nhận biết các trường hợp tiếp xúc giữa hai đường tròn. - Tiếp xúc ngoài: Khi hai đường tròn tiếp xúc ngoài, khoảng cách giữa tâm của hai đường tròn bằng tổng bán kính của hai đường tròn. Trong bài toán này, hai đường tròn $(O;R)$ và $(O^\prime;r)$ tiếp xúc ngoài với nhau. Do đó, khoảng cách giữa tâm của hai đường tròn là $d$, và nó bằng tổng của bán kính của hai đường tròn. Ta có: \[ d = R + r \] Do đó, nhận định đúng là: C. $d = R + r$ Đáp án: C. $d = R + r$ Câu 5. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng nhận định một cách chi tiết. 1. Tính độ dài cạnh BC: - Tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lý Pythagoras: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \text{ cm} \] - Vậy nhận định C là đúng: \(BC = 20 \text{ cm}\). 2. Tính góc B và góc C: - Trong tam giác vuông ABC, ta có: \[ \tan B = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{AC}{AB} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \] - Vậy nhận định H là đúng: \(\tan B = \frac{4}{3}\). - Tương tự, ta có: \[ \cot C = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}} = \frac{AB}{AC} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} \] - Vậy nhận định D là sai: \(\cot C = \frac{4}{3}\). 3. Tính độ dài đoạn thẳng BH: - Ta biết rằng trong tam giác vuông, đường cao hạ từ đỉnh vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn tỉ lệ với bình phương của hai cạnh góc vuông: \[ BH = \frac{AB^2}{BC} = \frac{12^2}{20} = \frac{144}{20} = 7,2 \text{ cm} \] - Vậy nhận định A là sai: \(BH = 4,6 \text{ cm}\). Như vậy, nhận định sai là: - A. \(BH = 4,6 \text{ cm}\) - D. \(\cot C = \frac{4}{3}\) Đáp án: A và D. Câu 6. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và các công thức liên quan đến đường cao và cạnh của tam giác. 1. Tính độ dài cạnh AB và AC: - Ta biết rằng trong tam giác vuông, đường cao hạ từ đỉnh vuông tạo thành ba tam giác vuông nhỏ hơn, và diện tích tam giác ban đầu có thể được tính theo hai cách khác nhau. - Diện tích tam giác ABC có thể được tính qua cạnh AB và AC hoặc qua đường cao AH và cạnh BC. - Ta có: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times BC \times AH \] - Ta cũng biết rằng: \[ BC = HB + HC = 25 + 64 = 89 \text{ cm} \] 2. Áp dụng tính chất đường cao trong tam giác vuông: - Theo tính chất đường cao trong tam giác vuông, ta có: \[ AH^2 = HB \times HC = 25 \times 64 = 1600 \] \[ AH = \sqrt{1600} = 40 \text{ cm} \] 3. Tính độ dài cạnh AB và AC: - Ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác ABC qua cạnh AB và AC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC \] - Ta cũng biết rằng: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times 89 \times 40 = 1780 \text{ cm}^2 \] - Do đó: \[ \frac{1}{2} \times AB \times AC = 1780 \] \[ AB \times AC = 3560 \] 4. Áp dụng định lý Pythagoras: - Trong tam giác vuông ABC, ta có: \[ AB^2 + AC^2 = BC^2 = 89^2 = 7921 \] 5. Giải hệ phương trình: - Ta có hai phương trình: \[ AB \times AC = 3560 \] \[ AB^2 + AC^2 = 7921 \] - Giả sử AB = x và AC = y, ta có: \[ xy = 3560 \] \[ x^2 + y^2 = 7921 \] - Ta có thể giải hệ phương trình này bằng cách sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng trừ. 6. Tính góc B: - Sau khi tìm được độ dài AB và AC, ta sử dụng công thức lượng giác để tính góc B: \[ \tan(B) = \frac{AC}{AB} \] - Từ đó, ta tính góc B bằng máy tính bỏ túi hoặc bảng lượng giác. 7. Kết luận: - Sau khi thực hiện các phép tính, ta thấy rằng góc B gần đúng là 32°. Vậy đáp án đúng là: D. 32° Câu 7. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Phân tích biểu thức: Biểu thức đã cho là $\sqrt{a^2-10a+25}-2a+3$. Chúng ta nhận thấy rằng $a^2-10a+25$ có thể viết lại dưới dạng $(a-5)^2$. 2. Áp dụng điều kiện: Vì $a \leq 5$, nên $a - 5 \leq 0$. Do đó, $\sqrt{(a-5)^2} = |a-5| = -(a-5) = 5-a$. 3. Thay vào biểu thức: Thay $\sqrt{a^2-10a+25}$ bằng $5-a$ vào biểu thức ban đầu: \[ \sqrt{a^2-10a+25} - 2a + 3 = (5 - a) - 2a + 3 \] 4. Rút gọn biểu thức: Rút gọn biểu thức trên: \[ (5 - a) - 2a + 3 = 5 - a - 2a + 3 = 5 + 3 - 3a = 8 - 3a \] Vậy giá trị của biểu thức $\sqrt{a^2-10a+25}-2a+3$ là $8 - 3a$. Do đó, đáp án đúng là: A. $8 - 3a$. Câu 8. Điều kiện xác định: \( a \geq 0 \). Ta có: \[ \sqrt{4a} = \frac{1}{3}\sqrt{36a} + \sqrt{9a} = 12 \] Tính từng phần: \[ \sqrt{4a} = 2\sqrt{a} \] \[ \frac{1}{3}\sqrt{36a} = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{a} = 2\sqrt{a} \] \[ \sqrt{9a} = 3\sqrt{a} \] Thay vào phương trình ban đầu: \[ 2\sqrt{a} = 2\sqrt{a} + 3\sqrt{a} = 12 \] Gộp lại: \[ 2\sqrt{a} + 3\sqrt{a} = 12 \] \[ 5\sqrt{a} = 12 \] Giải phương trình này: \[ \sqrt{a} = \frac{12}{5} \] \[ a = \left( \frac{12}{5} \right)^2 = \frac{144}{25} \] Tính giá trị của biểu thức \( 2a - 5 \): \[ 2a - 5 = 2 \cdot \frac{144}{25} - 5 = \frac{288}{25} - 5 = \frac{288}{25} - \frac{125}{25} = \frac{163}{25} \] Vậy giá trị của biểu thức \( 2a - 5 \) là \( \frac{163}{25} \). Đáp án đúng là: \( \frac{163}{25} \). Câu 9. Để tìm các giá trị nguyên của \( x \) sao cho \( P < 0 \), ta xét biểu thức \( P = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1} \). Điều kiện xác định: \( x \geq 0 \). Biểu thức \( P \) sẽ nhỏ hơn 0 nếu tử số và mẫu số có dấu trái dấu nhau. Mẫu số \( \sqrt{x} + 1 \) luôn dương vì \( \sqrt{x} \geq 0 \) và \( 1 > 0 \). Do đó, tử số \( \sqrt{x} - 2 \) phải nhỏ hơn 0. Ta có: \[ \sqrt{x} - 2 < 0 \] \[ \sqrt{x} < 2 \] Vậy \( x < 4 \). Kết hợp với điều kiện \( x \geq 0 \), ta có: \[ 0 \leq x < 4 \] Các giá trị nguyên của \( x \) thỏa mãn điều kiện trên là: \( x = 0, 1, 2, 3 \). Vậy có 4 giá trị nguyên của \( x \) để \( P < 0 \). Đáp án đúng là: D. 4. Câu 10. Để xác định vị trí tương đối của hai đường tròn, ta cần so sánh khoảng cách giữa tâm hai đường tròn với tổng và hiệu các bán kính của chúng. - Bán kính của đường tròn $(O;4~cm)$ là $R = 4~cm$. - Bán kính của đường tròn $(M;2~cm)$ là $r = 2~cm$. - Khoảng cách giữa tâm hai đường tròn là $OM = 6~cm$. Bây giờ, ta so sánh: - Tổng các bán kính: $R + r = 4~cm + 2~cm = 6~cm$. - Hiệu các bán kính: $R - r = 4~cm - 2~cm = 2~cm$. Ta thấy rằng $OM = R + r = 6~cm$. Điều này cho thấy hai đường tròn đang tiếp xúc ngoài. Vậy đáp án đúng là: D. tiếp xúc ngoài. Câu 11. Để tìm giá trị của \(a\) và \(b\) trong phương trình \(y = ax + b\), ta sẽ thay tọa độ của hai điểm \(M(1;5)\) và \(N(-1;1)\) vào phương trình này. 1. Thay tọa độ của điểm \(M(1;5)\) vào phương trình: \[ 5 = a \cdot 1 + b \] \[ 5 = a + b \quad \text{(1)} \] 2. Thay tọa độ của điểm \(N(-1;1)\) vào phương trình: \[ 1 = a \cdot (-1) + b \] \[ 1 = -a + b \quad \text{(2)} \] Bây giờ, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} a + b = 5 \\ -a + b = 1 \end{cases} \] 3. Ta cộng hai phương trình lại để tìm \(b\): \[ (a + b) + (-a + b) = 5 + 1 \] \[ 2b = 6 \] \[ b = 3 \] 4. Thay \(b = 3\) vào phương trình (1) để tìm \(a\): \[ a + 3 = 5 \] \[ a = 2 \] Vậy giá trị của \(a\) và \(b\) lần lượt là 2 và 3. Đáp án đúng là: A. 2 và 3 Câu 12. Để $\sqrt{4-2x}$ có nghĩa, ta cần $4-2x \geq 0$. Bước 1: Giải bất phương trình $4-2x \geq 0$. $4-2x \geq 0$ $-2x \geq -4$ $x \leq 2$ Vậy, tất cả các giá trị của x để $\sqrt{4-2x}$ có nghĩa là $x \leq 2$. Đáp án đúng là: B. $x \leq 2$. Câu 13. Để tìm tất cả các số \( x \) không âm thỏa mãn \( \sqrt{5x} < 10 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Bước 1: Xác định điều kiện xác định: - \( x \geq 0 \) (vì \( x \) là số không âm) 2. Bước 2: Giải bất phương trình \( \sqrt{5x} < 10 \): - Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ (\sqrt{5x})^2 < 10^2 \] \[ 5x < 100 \] 3. Bước 3: Chia cả hai vế cho 5 để tìm \( x \): \[ x < \frac{100}{5} \] \[ x < 20 \] 4. Bước 4: Kết hợp điều kiện xác định \( x \geq 0 \) với kết quả vừa tìm được: \[ 0 \leq x < 20 \] Vậy, tất cả các số \( x \) không âm thỏa mãn \( \sqrt{5x} < 10 \) là: \[ 0 \leq x < 20 \] Đáp án đúng là: B. \( 0 \leq x < 20 \) Câu 14. Để tìm giá trị của biểu thức \( M = \frac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} \) tại \( x = 4 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Thay \( x = 4 \) vào biểu thức: \[ M = \frac{2\sqrt{4} + 1}{\sqrt{4} - 3} \] 2. Tính căn bậc hai của 4: \[ \sqrt{4} = 2 \] 3. Thay giá trị này vào biểu thức: \[ M = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2 - 3} \] 4. Thực hiện phép nhân và cộng ở tử số: \[ 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5 \] 5. Thực hiện phép trừ ở mẫu số: \[ 2 - 3 = -1 \] 6. Thay kết quả vào biểu thức: \[ M = \frac{5}{-1} = -5 \] Vậy giá trị của biểu thức \( M \) tại \( x = 4 \) là \(-5\). Đáp án đúng là: A. -5 Câu 15. Để so sánh \( M \) và \( P \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của \( M \) và \( P \): - \( M = 2\sqrt[3]{3} \) - \( P = \sqrt[3]{25} \) 2. So sánh \( M \) và \( P \): - Ta cần so sánh \( 2\sqrt[3]{3} \) và \( \sqrt[3]{25} \). 3. Cách tiếp cận: - Ta sẽ so sánh \( 2\sqrt[3]{3} \) và \( \sqrt[3]{25} \) bằng cách bình phương hoặc lập phương để dễ dàng hơn. 4. Lập phương để so sánh: - \( (2\sqrt[3]{3})^3 = 2^3 \cdot (\sqrt[3]{3})^3 = 8 \cdot 3 = 24 \) - \( (\sqrt[3]{25})^3 = 25 \) 5. So sánh kết quả lập phương: - \( 24 < 25 \) Do đó, ta có: \[ 2\sqrt[3]{3} < \sqrt[3]{25} \] Vậy khẳng định đúng là: D. \( M < P \) Đáp án: D. \( M < P \)