Giải giúp mình vs

Câu 1. Trước tiên, ta cần tìm diện tích tam giác ABC để tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC. Diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\widehat{BAC}) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \] Tiếp theo, ta cần tìm chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC. Gọi chiều cao này là h. Ta có: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h \] \[ 7.5 = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h \] \[ 15 = BC \cdot h \] Bây giờ, ta cần tìm độ dài đoạn thẳng BC. Ta sử dụng công thức余弦定理来找到BC的长度。 \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{BAC}) \] \[ BC^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(30^\circ) \] \[ BC^2 = 25 + 36 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ BC^2 = 61 - 30\sqrt{3} \] \[ BC = \sqrt{61 - 30\sqrt{3}} \] 现在我们有： \[ 15 = BC \cdot h \] \[ h = \frac{15}{BC} = \frac{15}{\sqrt{61 - 30\sqrt{3}}} \] 接下来，我们需要计算AA'和BC之间的距离。由于这是一个直棱柱，AA'垂直于底面ABC，因此AA'和BC之间的距离就是点A到底边BC的距离h。 \[ h = \frac{15}{\sqrt{61 - 30\sqrt{3}}} \approx 2.9 \] 所以，AA'和BC之间的距离约为2.9（保留一位小数）。 最终答案是：AA'和BC之间的距离约为2.9。 Câu 2: Để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD trong tứ diện đều ABCD có cạnh 2, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích hình tam giác ABC: - Tứ diện đều có tất cả các mặt là các tam giác đều. - Diện tích của một tam giác đều cạnh 2 là: \[ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \sqrt{3} \] 2. Tính thể tích của tứ diện ABCD: - Thể tích của một tứ diện đều cạnh \(a\) là: \[ V = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12} \] - Với \(a = 2\): \[ V = \frac{2^3 \sqrt{2}}{12} = \frac{8 \sqrt{2}}{12} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \] 3. Tính chiều cao hạ từ đỉnh D xuống đáy ABC: - Chiều cao hạ từ đỉnh D xuống đáy ABC là \(h_D\): \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times h_D \] \[ \frac{2 \sqrt{2}}{3} = \frac{1}{3} \times \sqrt{3} \times h_D \] \[ h_D = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{6}}{3} \] 4. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong tứ diện đều. - Ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: \[ d = \frac{2V}{S_{ABCD}} \] - Diện tích đáy ABCD là: \[ S_{ABCD} = 2 \times S_{ABC} = 2 \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \] - Khoảng cách \(d\) là: \[ d = \frac{2 \times \frac{2 \sqrt{2}}{3}}{2 \sqrt{3}} = \frac{4 \sqrt{2}}{3 \times 2 \sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{6}}{9} \] 5. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: - \(\frac{2 \sqrt{6}}{9} \approx 0.5443\) - Làm tròn đến hàng phần trăm: \(0.54\) Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là \(0.54\). Câu 3. Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD trong hình chóp tứ giác đều S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tâm O của đáy ABCD: - Vì ABCD là hình vuông cạnh 2, tâm O của đáy sẽ là giao điểm của các đường chéo AC và BD. - Ta có OA = OB = OC = OD = $\frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. 2. Xác định khoảng cách từ S đến đáy ABCD: - Hình chóp S.ABCD là hình chóp đều nên SO vuông góc với đáy ABCD. - Ta có SA = SB = SC = SD = $2\sqrt{2}$. - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác SOA: \[ SO^2 + OA^2 = SA^2 \implies SO^2 + (\sqrt{2})^2 = (2\sqrt{2})^2 \implies SO^2 + 2 = 8 \implies SO^2 = 6 \implies SO = \sqrt{6} \] 3. Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng SD. - Ta cần tìm diện tích của tam giác SAD và chiều cao hạ từ A xuống SD. - Diện tích tam giác SAD: \[ S_{SAD} = \frac{1}{2} \times AD \times SO = \frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{6} = \sqrt{6} \] - Chiều cao hạ từ A xuống SD: \[ \text{Diện tích } S_{SAD} = \frac{1}{2} \times SD \times h_A \implies \sqrt{6} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times h_A \implies \sqrt{6} = \sqrt{2} \times h_A \implies h_A = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3} \] 4. Kết luận: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD là $\sqrt{3}$. - Làm tròn đến hàng phần mười: $\sqrt{3} \approx 1.7$. Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD là 1.7. Câu 4. Trước tiên, ta xác định góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy (ABCD). Gọi O là trung điểm của AD, ta có SO là đường cao hạ từ S xuống mặt đáy (ABCD). Vì SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), nên SO cũng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Do đó, góc giữa SD và mặt đáy (ABCD) chính là góc SDO. Biết rằng góc SDO = 30°, ta có: \[ \tan(30^\circ) = \frac{SO}{OD} \] Biết rằng OD = \(\frac{AD}{2}\) = \(\frac{6}{2}\) = 3, ta có: \[ \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{SO}{3} \] \[ SO = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \] Bây giờ, ta tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD. Vì AB nằm trong mặt đáy (ABCD) và SD cắt qua đỉnh S, khoảng cách giữa AB và SD chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng SD. Ta dựng đường thẳng SO vuông góc với mặt đáy (ABCD) tại O. Ta cần tìm khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng SD. Ta gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống SD. Trong tam giác SAD, ta có: \[ SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 6^2} = \sqrt{3 + 36} = \sqrt{39} \] Khoảng cách từ A đến SD chính là chiều cao hạ từ A xuống SD trong tam giác SAD. Ta gọi chiều cao này là AH. Diện tích tam giác SAD có thể tính theo hai cách: \[ \text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times SA \times AD = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times 6 = 3\sqrt{3} \] \[ \text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times SD \times AH = \frac{1}{2} \times \sqrt{39} \times AH \] Bằng nhau, ta có: \[ 3\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times \sqrt{39} \times AH \] \[ AH = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{39}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{39}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}} = \frac{6\sqrt{13}}{13} \] Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD là: \[ \boxed{\frac{6\sqrt{13}}{13}} \]