Giải nhanh ạ Câu 4. Trong không gian Oxyz , Cho hình bình hành MNPQ với $M(2;3;-1),N(-1;1;1),P(1;0;2).$,a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là $(-2;3;1).$,b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N . Tọa độ của điểm E là $(-4;-1;3).$,c) Cho $P(1;m-1;3).$ Tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi $m=1.$,d) Diện tích hình bình hành bằng $14\sqrt5.$

Question

Accepted Answer

Câu 4.
a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là $(0;3;0)$.

b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Ta có:
- Vector $\overrightarrow{MN} = (-1 - 2; 1 - 3; 1 + 1) = (-3; -2; 2)$.
- Vì E là điểm đối xứng của M qua N nên $\overrightarrow{NE} = \overrightarrow{MN}$.
- Tọa độ của điểm E là $E = N + \overrightarrow{NE} = (-1; 1; 1) + (-3; -2; 2) = (-4; -1; 3)$.

c) Cho $P(1; m-1; 3)$. Tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi $\overrightarrow{NM} \cdot \overrightarrow{NP} = 0$.
- Vector $\overrightarrow{NM} = (2 + 1; 3 - 1; -1 - 1) = (3; 2; -2)$.
- Vector $\overrightarrow{NP} = (1 + 1; m-1 - 1; 3 - 1) = (2; m-2; 2)$.
- Ta có: $\overrightarrow{NM} \cdot \overrightarrow{NP} = 3 \cdot 2 + 2 \cdot (m-2) + (-2) \cdot 2 = 6 + 2(m-2) - 4 = 2m - 2$.
- Để tam giác MNP vuông tại N thì $2m - 2 = 0$, suy ra $m = 1$.

d) Diện tích hình bình hành MNPQ bằng diện tích hai tam giác MNP và MNQ cộng lại.
- Vector $\overrightarrow{MN} = (-3; -2; 2)$.
- Vector $\overrightarrow{MP} = (-1; -2; 3)$.
- Vector $\overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{PQ} = (-1; -2; 3) + (2; 1; -1) = (1; -1; 2)$.
- Vector $\overrightarrow{MN} 	imes \overrightarrow{MP} = \begin{vmatrix}
i & j & k \
-3 & -2 & 2 \
-1 & -2 & 3
\end{vmatrix} = i((-2)(3) - (2)(-2)) - j((-3)(3) - (2)(-1)) + k((-3)(-2) - (-2)(-1)) = i(-6 + 4) - j(-9 + 2) + k(6 - 2) = (-2; 7; 4)$.
- Độ dài vector $\overrightarrow{MN} 	imes \overrightarrow{MP}$ là $\sqrt{(-2)^2 + 7^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 49 + 16} = \sqrt{69}$.
- Diện tích tam giác MNP là $\frac{1}{2} 	imes \sqrt{69}$.
- Diện tích hình bình hành MNPQ là $2 	imes \frac{1}{2} 	imes \sqrt{69} = \sqrt{69}$.

Đáp án đúng là: 
a) $(0;3;0)$.
b) $(-4; -1; 3)$.
c) $m = 1$.
d) $\sqrt{69}$.