Giuppp toiiii voiiii

Câu 1: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = f(x) \), ta cần dựa vào đồ thị của hàm số. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào đó nếu giá trị của \( y \) giảm dần khi \( x \) tăng lên trong khoảng đó. Dựa vào đồ thị: - Từ \( -\infty \) đến \( 0 \), hàm số tăng dần. - Từ \( 0 \) đến \( 1 \), hàm số giảm dần. - Từ \( 1 \) đến \( 3 \), hàm số tăng dần. - Từ \( 3 \) đến \( 5 \), hàm số giảm dần. Do đó, hàm số nghịch biến trên các khoảng: - \( (0; 1) \) - \( (3; 5) \) Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, chỉ có khoảng \( (0; 1) \) là đúng. Vậy đáp án đúng là: B. \( (0; 1) \) Câu 2: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( y = x^4 + 8x^2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 + 8x^2) = 4x^3 + 16x \] 2. Xác định dấu của đạo hàm: \[ y' = 4x(x^2 + 4) \] Ta thấy rằng \( x^2 + 4 > 0 \) với mọi \( x \) vì \( x^2 \geq 0 \) và 4 là hằng số dương. Do đó, dấu của \( y' \) phụ thuộc vào dấu của \( x \). - Khi \( x > 0 \), ta có \( y' > 0 \). - Khi \( x < 0 \), ta có \( y' < 0 \). 3. Xác định khoảng đồng biến: Hàm số \( y = x^4 + 8x^2 \) đồng biến khi đạo hàm \( y' > 0 \). Từ bước 2, ta thấy rằng \( y' > 0 \) khi \( x > 0 \). Do đó, hàm số \( y = x^4 + 8x^2 \) đồng biến trên khoảng \( (0; +\infty) \). Đáp án: A. \( (0; +\infty) \) Câu 3: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta thấy rằng: - Khi $x$ tăng từ $-\infty$ đến $x = -1$, hàm số giảm. - Tại điểm $x = -1$, hàm số đạt giá trị cực tiểu là $f(-1) = -3$. - Khi $x$ tăng từ $x = -1$ đến $x = 1$, hàm số tăng. - Tại điểm $x = 1$, hàm số đạt giá trị cực đại là $f(1) = 3$. - Khi $x$ tăng từ $x = 1$ đến $+\infty$, hàm số giảm. Do đó, giá trị cực đại của hàm số là 3, đạt được khi $x = 1$. Vậy đáp án đúng là: A. 3. Câu 4: Để xác định đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào, chúng ta sẽ kiểm tra các tính chất của hàm số và so sánh với các lựa chọn đã cho. 1. Kiểm tra tính chất của đồ thị: - Đồ thị cắt trục y tại điểm (0,0). - Đồ thị có hai điểm cực trị: một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. - Đồ thị có dạng uốn cong, giảm dần từ trái sang phải, sau đó tăng lên và cuối cùng lại giảm dần. 2. Kiểm tra từng hàm số: - Hàm số A: \( y = x^3 - 3x^2 \) - Ta tính đạo hàm: \( y' = 3x^2 - 6x \) - Tìm điểm cực trị: \( y' = 0 \Rightarrow 3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \) - Kiểm tra dấu của đạo hàm: + Khi \( x < 0 \), \( y' > 0 \) (hàm số tăng) + Khi \( 0 < x < 2 \), \( y' < 0 \) (hàm số giảm) + Khi \( x > 2 \), \( y' > 0 \) (hàm số tăng) - Đồ thị có dạng uốn cong, giảm dần từ trái sang phải, sau đó tăng lên và cuối cùng lại giảm dần. Tuy nhiên, điểm cực đại và cực tiểu không phù hợp với đồ thị trong hình vẽ. - Hàm số B: \( y = x^3 - 3x \) - Ta tính đạo hàm: \( y' = 3x^2 - 3 \) - Tìm điểm cực trị: \( y' = 0 \Rightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \) - Kiểm tra dấu của đạo hàm: + Khi \( x < -1 \), \( y' > 0 \) (hàm số tăng) + Khi \( -1 < x < 1 \), \( y' < 0 \) (hàm số giảm) + Khi \( x > 1 \), \( y' > 0 \) (hàm số tăng) - Đồ thị có dạng uốn cong, giảm dần từ trái sang phải, sau đó tăng lên và cuối cùng lại giảm dần. Điểm cực đại và cực tiểu phù hợp với đồ thị trong hình vẽ. - Hàm số C: \( y = -x^3 + 3x^2 \) - Ta tính đạo hàm: \( y' = -3x^2 + 6x \) - Tìm điểm cực trị: \( y' = 0 \Rightarrow -3x^2 + 6x = 0 \Rightarrow -3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \) - Kiểm tra dấu của đạo hàm: + Khi \( x < 0 \), \( y' < 0 \) (hàm số giảm) + Khi \( 0 < x < 2 \), \( y' > 0 \) (hàm số tăng) + Khi \( x > 2 \), \( y' < 0 \) (hàm số giảm) - Đồ thị có dạng uốn cong, tăng dần từ trái sang phải, sau đó giảm xuống và cuối cùng lại tăng dần. Điểm cực đại và cực tiểu không phù hợp với đồ thị trong hình vẽ. - Hàm số D: \( y = -x^3 + 3x \) - Ta tính đạo hàm: \( y' = -3x^2 + 3 \) - Tìm điểm cực trị: \( y' = 0 \Rightarrow -3x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \) - Kiểm tra dấu của đạo hàm: + Khi \( x < -1 \), \( y' < 0 \) (hàm số giảm) + Khi \( -1 < x < 1 \), \( y' > 0 \) (hàm số tăng) + Khi \( x > 1 \), \( y' < 0 \) (hàm số giảm) - Đồ thị có dạng uốn cong, tăng dần từ trái sang phải, sau đó giảm xuống và cuối cùng lại tăng dần. Điểm cực đại và cực tiểu không phù hợp với đồ thị trong hình vẽ. Từ các phân tích trên, chúng ta thấy rằng đồ thị trong hình vẽ phù hợp với đồ thị của hàm số \( y = x^3 - 3x \). Đáp án: B. \( y = x^3 - 3x \) Câu 5: Trước tiên, ta xét các vectơ trong hình hộp tùy ý ABCD.A'B'C'D'. - Vectơ $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh B. - Vectơ $\overrightarrow{AD}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh D. - Vectơ $\overrightarrow{AA'}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh A'. Theo quy tắc cộng vectơ trong không gian, ta có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} \] Ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn để xác định vectơ tổng này bằng vectơ nào. A. $\overrightarrow{AB'}$ - $\overrightarrow{AB'}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh B'. - Ta thấy rằng $\overrightarrow{AB'}$ không phải là tổng của $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AA'}$. B. $\overrightarrow{AC'}$ - $\overrightarrow{AC'}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh C'. - Ta thấy rằng $\overrightarrow{AC'}$ không phải là tổng của $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AA'}$. C. $\overrightarrow{AD'}$ - $\overrightarrow{AD'}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh D'. - Ta thấy rằng $\overrightarrow{AD'}$ không phải là tổng của $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AA'}$. D. $\overrightarrow{BD'}$ - $\overrightarrow{BD'}$ là vectơ từ đỉnh B đến đỉnh D'. - Ta thấy rằng $\overrightarrow{BD'}$ không phải là tổng của $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AA'}$. Tuy nhiên, ta nhận thấy rằng: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'} \] Do đó, khẳng định đúng là: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'} \] Vậy đáp án đúng là: B. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$. Câu 6: Trước tiên, ta xác định các vectơ liên quan: - Vectơ $\overrightarrow{DA}$ từ đỉnh D đến đỉnh A. - Vectơ $\overrightarrow{DB}$ từ đỉnh D đến đỉnh B. Tứ diện đều ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 2, tức là DA = DB = DC = AB = AC = BC = 2. Ta tính tích vô hướng $\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DB}$. Trong một tứ diện đều, góc giữa hai vectơ từ cùng một đỉnh đến hai đỉnh khác là 60°. Do đó, góc giữa $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{DB}$ là 60°. Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ là: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}| \cos(\theta) \] Áp dụng vào bài toán: \[ \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DB} = |DA| |DB| \cos(60^\circ) \] \[ \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DB} = 2 \times 2 \times \cos(60^\circ) \] \[ \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DB} = 4 \times \frac{1}{2} \] \[ \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DB} = 2 \] Vậy giá trị của $\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DB}$ là 2. Đáp án đúng là: D. 2.