Giải hộ mình câu này với các bạnGiải hộ mình câu này với các bạn

Bài 4. a) Ta có M, N lần lượt là trung điểm của AH và DH nên MN là đường trung bình của tam giác ADH. Do đó $MN//AD$ và $MN=\frac{1}{2}AD$. Ta có $\frac{HM}{HN}=\frac{AH-DH}{DH}=\frac{AH}{DH}-1$ và $\frac{HA}{HD}=\frac{AH}{DH}-1$. Do đó $\frac{HM}{HN}=\frac{HA}{HD}$, suy ra $HM.HD=HN.HA$. b) Ta có $MN=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC=BN$. Mà $MN//AD//BC$, suy ra $MN//BN$. Tứ giác BMNI có MN = BN và $MN//BN$ nên là hình bình hành. c) Ta có $HN.HA=HM.HD$ nên tam giác HNA có đường cao hạ từ đỉnh H chia đôi cạnh HA. Do đó tam giác HNA cân tại N. Mà $MN=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC=BI$, suy ra tam giác NBI cân tại N. Tứ giác BMNI là hình bình hành nên $NI//BM$. Mà $AD\perp BD$, suy ra $NI\perp AD$. Do đó tam giác ANI vuông tại N. Bài 5. Để tính giá trị của biểu thức \( M = a^3 + b^3 + 3ab(a^2 + b^2) + 6a^2b^2(a + b) \) khi \( a + b = 1 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta sử dụng hằng đẳng thức \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \): \[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \] Bước 2: Thay \( a + b = 1 \) vào biểu thức trên: \[ a^3 + b^3 = 1 \cdot (a^2 - ab + b^2) = a^2 - ab + b^2 \] Bước 3: Ta cũng biết rằng \( a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab \): \[ a^2 + b^2 = 1^2 - 2ab = 1 - 2ab \] Bước 4: Thay \( a^2 + b^2 = 1 - 2ab \) vào biểu thức \( 3ab(a^2 + b^2) \): \[ 3ab(a^2 + b^2) = 3ab(1 - 2ab) = 3ab - 6a^2b^2 \] Bước 5: Thay \( a + b = 1 \) vào biểu thức \( 6a^2b^2(a + b) \): \[ 6a^2b^2(a + b) = 6a^2b^2 \cdot 1 = 6a^2b^2 \] Bước 6: Kết hợp tất cả các phần đã tính: \[ M = a^3 + b^3 + 3ab(a^2 + b^2) + 6a^2b^2(a + b) \] \[ M = (a^2 - ab + b^2) + (3ab - 6a^2b^2) + 6a^2b^2 \] Bước 7: Rút gọn biểu thức: \[ M = a^2 - ab + b^2 + 3ab - 6a^2b^2 + 6a^2b^2 \] \[ M = a^2 + 2ab + b^2 \] Bước 8: Ta nhận thấy rằng \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \): \[ M = (a + b)^2 \] Bước 9: Thay \( a + b = 1 \) vào biểu thức trên: \[ M = 1^2 = 1 \] Vậy giá trị của biểu thức \( M \) là: \[ \boxed{1} \]