Helppp mee

Câu 2: Để tìm thời điểm t mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất trong 30 ngày đầu tiên, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( f(t) \): \[ f(t) = -t^3 + 45t^2 + 600t \] \[ f'(t) = -3t^2 + 90t + 600 \] 2. Xác định khoảng thời gian: \[ t \in [0, 30] \] 3. Tìm cực đại của đạo hàm \( f'(t) \): \[ f''(t) = -6t + 90 \] Đặt \( f''(t) = 0 \): \[ -6t + 90 = 0 \] \[ t = 15 \] 4. Kiểm tra dấu của đạo hàm \( f''(t) \): - Khi \( t < 15 \), \( f''(t) > 0 \) - Khi \( t > 15 \), \( f''(t) < 0 \) Do đó, \( f'(t) \) đạt cực đại tại \( t = 15 \). 5. So sánh giá trị của \( f'(t) \) tại các điểm biên và điểm cực đại: - Tại \( t = 0 \): \[ f'(0) = -3(0)^2 + 90(0) + 600 = 600 \] - Tại \( t = 15 \): \[ f'(15) = -3(15)^2 + 90(15) + 600 = -3(225) + 1350 + 600 = -675 + 1350 + 600 = 1275 \] - Tại \( t = 30 \): \[ f'(30) = -3(30)^2 + 90(30) + 600 = -3(900) + 2700 + 600 = -2700 + 2700 + 600 = 600 \] Như vậy, giá trị lớn nhất của \( f'(t) \) là 1275, đạt được khi \( t = 15 \). Kết luận: Tốc độ truyền bệnh là lớn nhất vào thời điểm \( t = 15 \). Câu 3: Để hàm số $y = x^3 - 3x^2 + (m+1)x + 2025$ có hai điểm cực trị, ta cần tìm điều kiện của tham số $m$ sao cho đạo hàm của hàm số có hai nghiệm phân biệt. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + (m+1)x + 2025) = 3x^2 - 6x + (m+1) \] Bước 2: Để hàm số có hai điểm cực trị, đạo hàm $y'$ phải có hai nghiệm phân biệt. Điều này tương đương với việc phương trình $3x^2 - 6x + (m+1) = 0$ có hai nghiệm phân biệt. Bước 3: Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là дискриминант больше нуля: \[ \Delta = b^2 - 4ac > 0 \] Trong đó, $a = 3$, $b = -6$, và $c = m+1$. Thay vào công thức: \[ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (m+1) > 0 \] \[ 36 - 12(m+1) > 0 \] \[ 36 - 12m - 12 > 0 \] \[ 24 - 12m > 0 \] \[ 24 > 12m \] \[ 2 > m \] \[ m < 2 \] Bước 4: Tìm các giá trị nguyên dương của $m$ thỏa mãn điều kiện trên: \[ m < 2 \] Các giá trị nguyên dương của $m$ là $m = 1$. Vậy có duy nhất 1 giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số có hai điểm cực trị. Đáp số: 1 giá trị nguyên dương của $m$. Câu 4: Điểm M thuộc mặt phẳng $(Oxz)$ nên tọa độ của M có dạng $(x;0;z)$ M cách đều ba điểm A, B, C nên ta có: $MA=MB$ $\sqrt{(x-2)^{2}+4+(z-2)^{2}}=\sqrt{(x+2)^{2}+4+z^{2}}$ $\Rightarrow x+z=0$ (1) Tương tự ta có: $MC=MB$ $\Rightarrow 2x-z+3=0$ (2) Giải (1) và (2) ta được $z=1$ Vậy cao độ của điểm M là 1. Câu 5: Công thực hiện bởi lực kéo được tính theo công thức: \[ W = F \cdot d \cdot \cos(\theta) \] Trong đó: - \( F \) là lực kéo (500 N) - \( d \) là khoảng cách dịch chuyển (15 m) - \( \theta \) là góc giữa lực kéo và phương dịch chuyển (\(30^\circ\)) Bước 1: Tính giá trị của \(\cos(30^\circ)\): \[ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \] Bước 2: Thay các giá trị vào công thức: \[ W = 500 \, \text{N} \times 15 \, \text{m} \times 0.866 \] Bước 3: Thực hiện phép nhân: \[ W = 500 \times 15 \times 0.866 \] \[ W = 7500 \times 0.866 \] \[ W \approx 6495 \, \text{J} \] Vậy công thực hiện bởi lực kéo là khoảng 6495 J (làm tròn đến hàng đơn vị). Đáp số: 6495 J Câu 6: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tập giá trị của hàm số \( f(x) \) từ bảng biến thiên. 2. Tìm điều kiện để phương trình \( 3f^2(t) - (m+2)f(t) + m-1 = 0 \) có đúng hai nghiệm trong khoảng \( (-\infty, 0) \cup (0, 2] \). 3. Xác định các giá trị của \( m \) sao cho phương trình \( 3f^2(x^2-4x) - (m+2)f(x^2-4x) + m-1 = 0 \) có đúng 8 nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng \( (0, +\infty) \). Bước 1: Xác định tập giá trị của hàm số \( f(x) \): Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng: - \( f(x) \) đạt giá trị lớn nhất là 2 tại \( x = 0 \). - \( f(x) \) đạt giá trị nhỏ nhất là 0 tại \( x = 2 \). - \( f(x) \) liên tục trên khoảng \( (-\infty, 0) \cup (0, 2] \). Do đó, tập giá trị của \( f(x) \) là \( (0, 2] \). Bước 2: Tìm điều kiện để phương trình \( 3f^2(t) - (m+2)f(t) + m-1 = 0 \) có đúng hai nghiệm trong khoảng \( (0, 2] \): Gọi \( u = f(t) \). Phương trình trở thành: \[ 3u^2 - (m+2)u + m-1 = 0 \] Để phương trình này có đúng hai nghiệm trong khoảng \( (0, 2] \), ta cần: - Phương trình có hai nghiệm phân biệt. - Nghiệm thứ nhất nằm trong khoảng \( (0, 2] \). - Nghiệm thứ hai nằm trong khoảng \( (0, 2] \). Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là: \[ \Delta = (m+2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (m-1) > 0 \] \[ \Delta = m^2 + 4m + 4 - 12m + 12 > 0 \] \[ \Delta = m^2 - 8m + 16 > 0 \] \[ (m-4)^2 > 0 \] \[ m \neq 4 \] Điều kiện để cả hai nghiệm nằm trong khoảng \( (0, 2] \): - \( u_1 + u_2 = \frac{m+2}{3} \) - \( u_1 \cdot u_2 = \frac{m-1}{3} \) Cần: \[ 0 < \frac{m+2}{3} < 4 \] \[ 0 < \frac{m-1}{3} < 4 \] Từ đây, ta có: \[ 0 < m+2 < 12 \] \[ -2 < m < 10 \] \[ 0 < m-1 < 12 \] \[ 1 < m < 13 \] Giao của hai khoảng này là: \[ 1 < m < 10 \] Bước 3: Xác định các giá trị của \( m \) sao cho phương trình \( 3f^2(x^2-4x) - (m+2)f(x^2-4x) + m-1 = 0 \) có đúng 8 nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng \( (0, +\infty) \): Phương trình \( 3f^2(x^2-4x) - (m+2)f(x^2-4x) + m-1 = 0 \) có đúng 8 nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng \( (0, +\infty) \) nếu mỗi nghiệm của phương trình \( 3u^2 - (m+2)u + m-1 = 0 \) tương ứng với 4 nghiệm của \( x^2 - 4x \). Do đó, tổng các giá trị nguyên của \( m \) là: \[ m = 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 \] Tổng các giá trị nguyên của \( m \) là: \[ 2 + 3 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 40 \] Đáp số: 40