cho x,y > 0 thỏa mãn x+y bé hơn hoặc bằng 3 . Tìm gtnn Q = x mũ 2 + y mũ 2 - 9x -12y + 16/2x+y + 25

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( Q = \frac{x^2 + y^2 - 9x - 12y + 16}{2x + y} + 25 \) với điều kiện \( x, y > 0 \) và \( x + y \leq 3 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét biểu thức \( x^2 + y^2 - 9x - 12y + 16 \) Ta nhóm các hạng tử để dễ dàng nhận thấy các hằng đẳng thức: \[ x^2 + y^2 - 9x - 12y + 16 = (x^2 - 9x + \frac{81}{4}) + (y^2 - 12y + 36) - \frac{81}{4} - 36 + 16 \] \[ = (x - \frac{9}{2})^2 + (y - 6)^2 - \frac{81}{4} - 36 + 16 \] \[ = (x - \frac{9}{2})^2 + (y - 6)^2 - \frac{81}{4} - \frac{144}{4} + \frac{64}{4} \] \[ = (x - \frac{9}{2})^2 + (y - 6)^2 - \frac{161}{4} \] Bước 2: Xét biểu thức \( 2x + y \) Do \( x + y \leq 3 \), ta có \( 2x + y \leq 2x + (3 - x) = x + 3 \). Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( Q \) Biểu thức \( Q \) có dạng: \[ Q = \frac{(x - \frac{9}{2})^2 + (y - 6)^2 - \frac{161}{4}}{2x + y} + 25 \] Để \( Q \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần \( (x - \frac{9}{2})^2 + (y - 6)^2 \) nhỏ nhất và \( 2x + y \) lớn nhất trong phạm vi cho phép. Do \( x, y > 0 \) và \( x + y \leq 3 \), ta chọn \( x = 1 \) và \( y = 2 \) (suy ra \( 2x + y = 4 \)) để tối ưu hóa biểu thức. Thay \( x = 1 \) và \( y = 2 \) vào biểu thức: \[ Q = \frac{(1 - \frac{9}{2})^2 + (2 - 6)^2 - \frac{161}{4}}{4} + 25 \] \[ = \frac{(\frac{-7}{2})^2 + (-4)^2 - \frac{161}{4}}{4} + 25 \] \[ = \frac{\frac{49}{4} + 16 - \frac{161}{4}}{4} + 25 \] \[ = \frac{\frac{49}{4} + \frac{64}{4} - \frac{161}{4}}{4} + 25 \] \[ = \frac{\frac{113}{4} - \frac{161}{4}}{4} + 25 \] \[ = \frac{\frac{-48}{4}}{4} + 25 \] \[ = \frac{-12}{4} + 25 \] \[ = -3 + 25 \] \[ = 22 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \( Q \) là 22, đạt được khi \( x = 1 \) và \( y = 2 \).