cho x,y > 0 thỏa mãn x+y bé hơn hoặc bằng 3 . Tìm gtnn Q = x mũ 2 + y mũ 2 - 9x -12y + 16/2x+y + 25

Để tìm giá trị nhỏ nhất của Q=x2+y2−9x−12y+162x+y+25Q = x^2 + y^2 - 9x - 12y + \frac{16}{2x+y} + 25 với điều kiện x,y>0x, y > 0 và x+y≤3x + y \leq 3, chúng ta có thể sử dụng phương pháp đơn giản hơn phù hợp với học sinh lớp 8.

1. Biến đổi biểu thức:

• Đầu tiên, ta biến đổi biểu thức QQ để dễ dàng tính toán hơn:

Q=x2+y2−9x−12y+162x+y+25Q = x^2 + y^2 - 9x - 12y + \frac{16}{2x+y} + 25

1. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

• Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho xx và yy:

\[ (x^2 + y²⁾⁽¹2 + 1^2) \geq (x + y)^2 \]

2(x2+y2)≥(x+y)22(x^2 + y^2) \geq (x + y)^2

x2+y2≥(x+y)22x^2 + y^2 \geq \frac{(x + y)^2}{2}

1. Áp dụng điều kiện x+y≤3x + y \leq 3:

• Thay x+y≤3x + y \leq 3 vào bất đẳng thức trên:

x2+y2≥322=92x^2 + y^2 \geq \frac{3^2}{2} = \frac{9}{2}

1. Tính giá trị của QQ:

• Thay x2+y2≥92x^2 + y^2 \geq \frac{9}{2} vào biểu thức của QQ:

Q≥92−9x−12y+162x+y+25Q \geq \frac{9}{2} - 9x - 12y + \frac{16}{2x+y} + 25

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của QQ:

• Để tìm giá trị nhỏ nhất của QQ, ta cần kiểm tra các giá trị của xx và yy thỏa mãn điều kiện x+y≤3x + y \leq 3.