Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu 48: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết thêm thông tin về xác suất của các sự kiện liên quan, cụ thể là xác suất Đúc đi làm muộn và xác suất trời mưa. Tuy nhiên, giả sử chúng ta có các thông tin sau (vì đề bài không cung cấp): - Xác suất Đúc đi làm muộn là \( P(A) = 0.2 \) - Xác suất trời mưa là \( P(B) = 0.3 \) - Xác suất Đúc đi làm muộn khi trời mưa là \( P(A|B) = 0.8 \) Chúng ta cần tìm xác suất trời mưa khi Đúc đi làm muộn, tức là \( P(B|A) \). Theo công thức xác suất điều kiện, ta có: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Từ đó suy ra: \[ P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = 0.8 \cdot 0.3 = 0.24 \] Tiếp theo, ta sử dụng công thức xác suất điều kiện để tìm \( P(B|A) \): \[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0.24}{0.2} = 1.2 \] Tuy nhiên, xác suất không thể lớn hơn 1, do đó có thể có lỗi trong giả định hoặc dữ liệu. Giả sử dữ liệu đúng, ta sẽ làm tròn kết quả đến phần chục: \[ P(B|A) = 1.2 \approx 1.20 \] Như vậy, xác suất mà ngày đó trời mưa khi Đúc đi làm muộn là 120%. Tuy nhiên, vì xác suất không thể vượt quá 100%, nên cần kiểm tra lại dữ liệu đầu vào. Đáp số: 120% (nhưng cần kiểm tra lại dữ liệu đầu vào vì xác suất không thể vượt quá 100%). Câu 49: Chi phí nhiên liệu của tàu chạy trên sông được chia thành hai phần: - Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 520 nghìn đồng trên 1 giờ. - Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc. Khi \( v = 15 \text{ km/h} \), phần thứ hai bằng 35 nghìn đồng/giờ. Ta cần xác định vận tốc của tàu để tổng chi phí nhiên liệu trên 1 km đường sông là nhỏ nhất. Bước 1: Xác định biểu thức chi phí nhiên liệu Gọi vận tốc của tàu là \( v \text{ km/h} \). Phần thứ hai của chi phí nhiên liệu tỉ lệ thuận với \( v^3 \). Ta có: \[ f(v) = k \cdot v^3 \] Trong đó \( k \) là hằng số tỉ lệ. Biết rằng khi \( v = 15 \text{ km/h} \), chi phí phần thứ hai là 35 nghìn đồng/giờ, ta có: \[ 35 = k \cdot 15^3 \] \[ 35 = k \cdot 3375 \] \[ k = \frac{35}{3375} = \frac{7}{675} \] Vậy biểu thức chi phí nhiên liệu phần thứ hai là: \[ f(v) = \frac{7}{675} \cdot v^3 \] Bước 2: Xác định tổng chi phí nhiên liệu trên 1 giờ Tổng chi phí nhiên liệu trên 1 giờ là: \[ C(v) = 520 + \frac{7}{675} \cdot v^3 \] Bước 3: Xác định tổng chi phí nhiên liệu trên 1 km Thời gian để tàu chạy 1 km là \( \frac{1}{v} \) giờ. Vậy tổng chi phí nhiên liệu trên 1 km là: \[ C_{\text{km}}(v) = C(v) \cdot \frac{1}{v} = \left( 520 + \frac{7}{675} \cdot v^3 \right) \cdot \frac{1}{v} \] \[ C_{\text{km}}(v) = \frac{520}{v} + \frac{7}{675} \cdot v^2 \] Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( C_{\text{km}}(v) \) Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( C_{\text{km}}(v) \), ta tính đạo hàm của \( C_{\text{km}}(v) \) và tìm điểm cực tiểu. \[ C'_{\text{km}}(v) = -\frac{520}{v^2} + \frac{14}{675} \cdot v \] Đặt \( C'_{\text{km}}(v) = 0 \): \[ -\frac{520}{v^2} + \frac{14}{675} \cdot v = 0 \] \[ \frac{14}{675} \cdot v = \frac{520}{v^2} \] \[ 14 \cdot v^3 = 520 \cdot 675 \] \[ v^3 = \frac{520 \cdot 675}{14} \] \[ v^3 = 25350 \] \[ v = \sqrt[3]{25350} \approx 29.37 \text{ km/h} \] Vậy vận tốc của tàu để tổng chi phí nhiên liệu trên 1 km đường sông là nhỏ nhất là khoảng 29.37 km/h. Đáp số: \( v \approx 29.37 \text{ km/h} \) Câu 50: Để hàm số $y = |\sin x - \frac{x}{2} - m|$ có đúng 5 điểm cực trị trong khoảng $(-\pi, \pi)$, ta cần xem xét hàm số $f(x) = \sin x - \frac{x}{2} - m$. Đầu tiên, ta tìm đạo hàm của $f(x)$: \[ f'(x) = \cos x - \frac{1}{2} \] Điều kiện để $f(x)$ có 5 điểm cực trị trong khoảng $(-\pi, \pi)$ là $f'(x) = 0$ phải có 4 nghiệm trong khoảng này. Ta giải phương trình: \[ \cos x - \frac{1}{2} = 0 \] \[ \cos x = \frac{1}{2} \] Phương trình $\cos x = \frac{1}{2}$ có các nghiệm: \[ x = \pm \frac{\pi}{3}, \pm \frac{5\pi}{3} \] Tuy nhiên, chỉ có các nghiệm trong khoảng $(-\pi, \pi)$ là: \[ x = \pm \frac{\pi}{3} \] Để hàm số $y = |\sin x - \frac{x}{2} - m|$ có đúng 5 điểm cực trị, thì $f(x)$ phải cắt trục hoành tại 3 điểm trong khoảng $(-\pi, \pi)$. Điều này xảy ra khi $f(x)$ có 3 nghiệm trong khoảng này. Ta cần tìm giá trị của $m$ sao cho $f(x)$ có 3 nghiệm trong khoảng $(-\pi, \pi)$. Ta vẽ đồ thị của $f(x)$ và tìm giao điểm với trục hoành. Đồ thị của $f(x) = \sin x - \frac{x}{2} - m$ sẽ cắt trục hoành tại 3 điểm nếu $m$ nằm trong khoảng giữa giá trị cực đại và cực tiểu của $\sin x - \frac{x}{2}$ trong khoảng $(-\pi, \pi)$. Ta tính giá trị cực đại và cực tiểu của $\sin x - \frac{x}{2}$ trong khoảng $(-\pi, \pi)$: - Tại $x = \frac{\pi}{3}$: \[ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} \approx 0.866 - 0.524 = 0.342 \] - Tại $x = -\frac{\pi}{3}$: \[ f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} \approx -0.866 + 0.524 = -0.342 \] Do đó, $m$ phải nằm trong khoảng $(-0.342, 0.342)$. Vậy miền $(a; b)$ là $(-0.342, 0.342)$ và giá trị của $|a - b|$ là: \[ |a - b| = |0.342 - (-0.342)| = 0.684 \] Đáp số: $0.68$