Giải hết bài này

BÀI 1. 1. Viết phương trình các đường cao của tam giác ABC biết $A(-1;-2)$, $B(-4,-4)$, $C(1,0)$. Đường cao hạ từ đỉnh $A$ vuông góc với cạnh $BC$, do đó ta cần tìm phương trình đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $BC$. Phương trình đường thẳng $BC$: - Vector pháp tuyến của $BC$: $\vec{n}_{BC} = (1 - (-4), 0 - (-4)) = (5, 4)$ - Phương trình đường thẳng $BC$: $5(x + 4) + 4(y + 4) = 0 \Rightarrow 5x + 4y + 36 = 0$ Đường cao hạ từ đỉnh $A$ sẽ có vector pháp tuyến là $(4, -5)$ (vuông góc với $\vec{n}_{BC}$): - Phương trình đường cao từ $A$: $4(x + 1) - 5(y + 2) = 0 \Rightarrow 4x - 5y - 6 = 0$ Tương tự, ta viết phương trình đường cao từ đỉnh $B$ và $C$. 2. Viết phương trình các đường trung trực của tam giác ABC biết $M(-1, 1)$, $N(1, 3)$, $P(9, 0)$ là các trung điểm của ba cạnh tam giác. Đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ đi qua trung điểm $M$ và vuông góc với $AB$: - Vector pháp tuyến của $AB$: $\vec{n}_{AB} = (1 - (-1), 3 - 1) = (2, 2)$ - Phương trình đường trung trực: $2(x + 1) + 2(y - 1) = 0 \Rightarrow x + y = 0$ Tương tự, ta viết phương trình đường trung trực từ các trung điểm $N$ và $P$. 3. Cho đường thẳng $\Delta: ax + by + c = 0$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta'$ đối xứng với đường thẳng $\Delta$ qua: a) Qua trục hoành: Thay $y$ bằng $-y$ trong phương trình $\Delta$. b) Qua trục tung: Thay $x$ bằng $-x$ trong phương trình $\Delta$. c) Qua gốc tọa độ: Thay cả $x$ và $y$ bằng $-x$ và $-y$ trong phương trình $\Delta$. 4. Cho điểm $A(1, 3)$ và đường thẳng $\Delta: x - 2y + 1 = 0$. Viết phương trình đường thẳng đối xứng với $\Delta$ qua $A$. Đường thẳng đối xứng qua điểm $A$ sẽ có dạng $x - 2y + k = 0$. Ta tìm $k$ sao cho đường thẳng này đi qua điểm $A$: - Thay $A(1, 3)$ vào phương trình: $1 - 2(3) + k = 0 \Rightarrow k = 5$ - Phương trình đường thẳng đối xứng: $x - 2y + 5 = 0$ 5. Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng: a) $d_1: 2x - 5y + 6 = 0$ và $d_2: -x + y - 3 = 0$: - Tỉ số hệ số: $\frac{2}{-1} \neq \frac{-5}{1}$ nên hai đường thẳng cắt nhau. b) $d_1: -3x + 2y - 7 = 0$ và $d_2: 6x - 4y - 7 = 0$: - Tỉ số hệ số: $\frac{-3}{6} = \frac{2}{-4}$ nên hai đường thẳng song song. c) $d_1: \sqrt{2}x + y - 3 = 0$ và $d_2: 2x + \sqrt{2}y - 3\sqrt{2} = 0$: - Tỉ số hệ số: $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ nên hai đường thẳng trùng nhau. d) $d_1: (m-1)x + my + 1 = 0$ và $d_2: 2x + y - 4 = 0$: - Tỉ số hệ số: $\frac{m-1}{2} \neq \frac{m}{1}$ nên hai đường thẳng cắt nhau. 6. Biện luận vị trí tương đối của hai đường thẳng theo tham số $m$: $\Delta_1: 4x - my + 4 - m = 0$ và $\Delta_2: (2m + 6)x + y - 2m - 1 = 0$: - Tỉ số hệ số: $\frac{4}{2m + 6} = \frac{-m}{1}$ - Giải phương trình: $4 = -m(2m + 6) \Rightarrow 2m^2 + 6m + 4 = 0 \Rightarrow m^2 + 3m + 2 = 0 \Rightarrow (m + 1)(m + 2) = 0$ - Vậy $m = -1$ hoặc $m = -2$: - Nếu $m = -1$: Hai đường thẳng trùng nhau. - Nếu $m = -2$: Hai đường thẳng song song. - Nếu $m \neq -1$ và $m \neq -2$: Hai đường thẳng cắt nhau.