Giúp mk nhá

Câu 88: Để tính $\int x \ln x \, dx$, ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Phương pháp này dựa trên công thức: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Bước 1: Chọn \(u\) và \(dv\): - \(u = \ln x\) - \(dv = x \, dx\) Bước 2: Tính \(du\) và \(v\): - \(du = \frac{1}{x} \, dx\) - \(v = \int x \, dx = \frac{x^2}{2}\) Bước 3: Áp dụng công thức tích phân từng phần: \[ \int x \ln x \, dx = \left( \ln x \right) \left( \frac{x^2}{2} \right) - \int \left( \frac{x^2}{2} \right) \left( \frac{1}{x} \right) \, dx \] Bước 4: Tính tích phân còn lại: \[ \int \left( \frac{x^2}{2} \right) \left( \frac{1}{x} \right) \, dx = \int \frac{x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{4} \] Bước 5: Kết hợp các kết quả: \[ \int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C \] Vậy đáp án đúng là: A. $\frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$ Đáp án: A. $\frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$ Câu 89: Để tìm nguyên hàm của \( f(x) = \frac{x}{\cos^2 x} \), ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Bước 1: Xác định u và dv - Chọn \( u = x \) - Chọn \( dv = \frac{1}{\cos^2 x} dx = \sec^2 x dx \) Bước 2: Tính du và v - \( du = dx \) - \( v = \int \sec^2 x dx = \tan x \) Bước 3: Áp dụng công thức tích phân từng phần \[ \int u dv = uv - \int v du \] Áp dụng vào bài toán: \[ \int \frac{x}{\cos^2 x} dx = x \tan x - \int \tan x dx \] Bước 4: Tính tích phân \( \int \tan x dx \) \[ \int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx \] Chúng ta thực hiện phép thay đổi biến \( t = \cos x \), do đó \( dt = -\sin x dx \): \[ \int \frac{\sin x}{\cos x} dx = -\int \frac{dt}{t} = -\ln |t| + C = -\ln |\cos x| + C \] Bước 5: Kết hợp lại \[ \int \frac{x}{\cos^2 x} dx = x \tan x - (-\ln |\cos x|) + C = x \tan x + \ln |\cos x| + C \] Vậy nguyên hàm của \( f(x) = \frac{x}{\cos^2 x} \) là: \[ x \tan x + \ln |\cos x| + C \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( x \tan x + \ln |\cos x| \) Câu 90: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = e^{-x} \cos x \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Phương pháp tích phân từng phần dựa trên công thức: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Chúng ta chọn: \[ u = \cos x \quad \text{và} \quad dv = e^{-x} \, dx \] Từ đó suy ra: \[ du = -\sin x \, dx \quad \text{và} \quad v = -e^{-x} \] Áp dụng công thức tích phân từng phần: \[ \int e^{-x} \cos x \, dx = \cos x \cdot (-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) \cdot (-\sin x) \, dx \] \[ = -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x \, dx \] Bây giờ, chúng ta lại áp dụng phương pháp tích phân từng phần cho \(\int e^{-x} \sin x \, dx\): Chọn: \[ u = \sin x \quad \text{và} \quad dv = e^{-x} \, dx \] Từ đó suy ra: \[ du = \cos x \, dx \quad \text{và} \quad v = -e^{-x} \] Áp dụng công thức tích phân từng phần: \[ \int e^{-x} \sin x \, dx = \sin x \cdot (-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) \cdot \cos x \, dx \] \[ = -e^{-x} \sin x + \int e^{-x} \cos x \, dx \] Gọi \( I = \int e^{-x} \cos x \, dx \). Ta có: \[ I = -e^{-x} \cos x - (-e^{-x} \sin x + I) \] \[ I = -e^{-x} \cos x + e^{-x} \sin x - I \] Di chuyển \( I \) sang cùng một vế: \[ 2I = -e^{-x} \cos x + e^{-x} \sin x \] \[ I = \frac{1}{2} (-e^{-x} \cos x + e^{-x} \sin x) \] \[ I = \frac{1}{2} e^{-x} (\sin x - \cos x) \] Do đó, nguyên hàm của \( f(x) = e^{-x} \cos x \) là: \[ F(x) = \frac{1}{2} e^{-x} (\sin x - \cos x) + C \] Vậy đáp án đúng là: D. \( F(x) = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x - \cos x) + C \) Đáp án: D. \( F(x) = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x - \cos x) + C \) Câu 91: Để tính nguyên hàm $\int \ln x \, dx$, ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Phương pháp này dựa trên công thức: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Bước 1: Chọn $u$ và $dv$. - Ta chọn $u = \ln x$ và $dv = dx$. Bước 2: Tính $du$ và $v$. - Tính vi phân của $u$: $du = \frac{1}{x} \, dx$ - Tích phân của $dv$: $v = \int dx = x$ Bước 3: Áp dụng công thức tích phân từng phần. \[ \int \ln x \, dx = (\ln x)(x) - \int x \left( \frac{1}{x} \right) \, dx \] \[ = x \ln x - \int 1 \, dx \] \[ = x \ln x - x + C \] Vậy nguyên hàm của $\int \ln x \, dx$ là: \[ x \ln x - x + C \] Do đó, đáp án đúng là: A. $x \ln x - x + C$ Câu 92: Để tìm nguyên hàm của hàm số $y = \int \frac{(x^2 + x)e^x}{x + e^{-x}} \, dx$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét biểu thức trong tích phân: \[ y = \int \frac{(x^2 + x)e^x}{x + e^{-x}} \, dx \] Bước 2: Nhân cả tử và mẫu với $e^x$ để đơn giản hóa biểu thức: \[ y = \int \frac{(x^2 + x)e^x \cdot e^x}{(x + e^{-x}) \cdot e^x} \, dx = \int \frac{(x^2 + x)e^{2x}}{xe^x + 1} \, dx \] Bước 3: Đặt $u = xe^x + 1$. Khi đó, $du = (e^x + xe^x) \, dx = e^x(x + 1) \, dx$. Bước 4: Thay đổi biến trong tích phân: \[ y = \int \frac{(x^2 + x)e^{2x}}{u} \cdot \frac{du}{e^x(x + 1)} = \int \frac{x^2 e^x}{u} \, du \] Bước 5: Nhận thấy rằng $x^2 e^x = u - 1$, do đó: \[ y = \int \frac{u - 1}{u} \, du = \int \left(1 - \frac{1}{u}\right) \, du \] Bước 6: Tính tích phân từng phần: \[ y = \int 1 \, du - \int \frac{1}{u} \, du = u - \ln |u| + C \] Bước 7: Thay trở lại $u = xe^x + 1$: \[ y = xe^x + 1 - \ln |xe^x + 1| + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số là: \[ F(x) = xe^x + 1 - \ln |xe^x + 1| + C \] Do đó, đáp án đúng là: A. $F(x) = xe^x + 1 - \ln |xe^x + 1| + C$ Câu 93: Để tính nguyên hàm của hàm số $I = \int \cos 2x \cdot \ln(\sin x + \cos x) \, dx$, ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Bước 1: Xác định u và dv - Chọn $u = \ln(\sin x + \cos x)$ - Chọn $dv = \cos 2x \, dx$ Bước 2: Tính du và v - $du = \frac{d}{dx}[\ln(\sin x + \cos x)] \, dx = \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x} \, dx$ - $v = \int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x$ Bước 3: Áp dụng công thức tích phân từng phần \[ I = uv - \int v \, du \] \[ I = \frac{1}{2} \sin 2x \cdot \ln(\sin x + \cos x) - \int \frac{1}{2} \sin 2x \cdot \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x} \, dx \] Bước 4: Đơn giản hóa biểu thức trong tích phân \[ I = \frac{1}{2} \sin 2x \cdot \ln(\sin x + \cos x) - \frac{1}{2} \int \frac{\sin 2x (\cos x - \sin x)}{\sin x + \cos x} \, dx \] Chú ý rằng $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, do đó: \[ I = \frac{1}{2} \sin 2x \cdot \ln(\sin x + \cos x) - \frac{1}{2} \int \frac{2 \sin x \cos x (\cos x - \sin x)}{\sin x + \cos x} \, dx \] \[ I = \frac{1}{2} \sin 2x \cdot \ln(\sin x + \cos x) - \int \frac{\sin x \cos x (\cos x - \sin x)}{\sin x + \cos x} \, dx \] Bước 5: Thay đổi biến để đơn giản hóa tích phân Chúng ta nhận thấy rằng: \[ \frac{\sin x \cos x (\cos x - \sin x)}{\sin x + \cos x} = \frac{1}{2} (\sin^2 x - \cos^2 x) = -\frac{1}{2} \cos 2x \] Do đó: \[ I = \frac{1}{2} \sin 2x \cdot \ln(\sin x + \cos x) + \frac{1}{2} \int \cos 2x \, dx \] \[ I = \frac{1}{2} \sin 2x \cdot \ln(\sin x + \cos x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin 2x + C \] \[ I = \frac{1}{2} \sin 2x \cdot \ln(\sin x + \cos x) + \frac{1}{4} \sin 2x + C \] Bước 6: Kết luận \[ I = \frac{1}{4} (1 + \sin 2x) \ln(1 + \sin 2x) - \frac{1}{4} \sin 2x + C \] Vậy đáp án đúng là: C. $F(x) = \frac{1}{4}(1 + \sin 2x) \ln(1 + \sin 2x) - \frac{1}{4} \sin 2x + C$. Câu 94: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( I = \int (x - 2) \sin(3x) \, dx \), ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Phương pháp tích phân từng phần dựa trên công thức: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Chúng ta chọn: \[ u = x - 2 \quad \text{và} \quad dv = \sin(3x) \, dx \] Từ đó suy ra: \[ du = dx \quad \text{và} \quad v = -\frac{1}{3} \cos(3x) \] Áp dụng công thức tích phân từng phần: \[ I = \int (x - 2) \sin(3x) \, dx = (x - 2) \left(-\frac{1}{3} \cos(3x)\right) - \int \left(-\frac{1}{3} \cos(3x)\right) \, dx \] Rút gọn biểu thức: \[ I = -\frac{(x - 2) \cos(3x)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos(3x) \, dx \] Tiếp theo, ta tính nguyên hàm của \(\cos(3x)\): \[ \int \cos(3x) \, dx = \frac{1}{3} \sin(3x) \] Do đó: \[ I = -\frac{(x - 2) \cos(3x)}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \sin(3x) + C \] \[ I = -\frac{(x - 2) \cos(3x)}{3} + \frac{1}{9} \sin(3x) + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( I = \int (x - 2) \sin(3x) \, dx \) là: \[ F(x) = -\frac{(x - 2) \cos(3x)}{3} + \frac{1}{9} \sin(3x) + C \] Đáp án đúng là: A. \( F(x) = -\frac{(x - 2) \cos(3x)}{3} + \frac{1}{9} \sin(3x) + C \) Câu 95: Để tính nguyên hàm của hàm số \( I = \int x^3 \ln x \, dx \), ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Phương pháp này dựa trên công thức: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Trong đó: - \( u = \ln x \) - \( dv = x^3 \, dx \) Bây giờ, ta tính \( du \) và \( v \): - \( du = \frac{1}{x} \, dx \) - \( v = \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \) Áp dụng công thức tích phân từng phần: \[ I = \int x^3 \ln x \, dx = \left( \ln x \right) \left( \frac{x^4}{4} \right) - \int \left( \frac{x^4}{4} \right) \left( \frac{1}{x} \right) \, dx \] \[ I = \frac{x^4}{4} \ln x - \int \frac{x^4}{4x} \, dx \] \[ I = \frac{x^4}{4} \ln x - \int \frac{x^3}{4} \, dx \] \[ I = \frac{x^4}{4} \ln x - \frac{1}{4} \int x^3 \, dx \] \[ I = \frac{x^4}{4} \ln x - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^4}{4} + C \] \[ I = \frac{x^4}{4} \ln x - \frac{x^4}{16} + C \] Do đó, nguyên hàm của hàm số \( I = \int x^3 \ln x \, dx \) là: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} \ln x - \frac{x^4}{16} + C \] Vậy đáp án đúng là: D. \( F(x) = \frac{x^4}{4} \ln x - \frac{x^4}{16} + C \) Câu 96: Để tính tích phân \( H = \int x \cdot 3^x \, dx \), ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Phương pháp này dựa trên công thức: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Trong đó: - \( u = x \) - \( dv = 3^x \, dx \) Bước 1: Xác định \( u \) và \( dv \): - \( u = x \) - \( dv = 3^x \, dx \) Bước 2: Tính \( du \) và \( v \): - \( du = dx \) - \( v = \int 3^x \, dx = \frac{3^x}{\ln(3)} \) Bước 3: Áp dụng công thức tích phân từng phần: \[ H = \int x \cdot 3^x \, dx = x \cdot \frac{3^x}{\ln(3)} - \int \frac{3^x}{\ln(3)} \, dx \] Bước 4: Tính tích phân còn lại: \[ \int \frac{3^x}{\ln(3)} \, dx = \frac{1}{\ln(3)} \int 3^x \, dx = \frac{1}{\ln(3)} \cdot \frac{3^x}{\ln(3)} = \frac{3^x}{(\ln(3))^2} \] Bước 5: Kết hợp các kết quả lại: \[ H = x \cdot \frac{3^x}{\ln(3)} - \frac{3^x}{(\ln(3))^2} + C \] Vậy, tích phân \( H = \int x \cdot 3^x \, dx \) là: \[ H = \frac{x \cdot 3^x}{\ln(3)} - \frac{3^x}{(\ln(3))^2} + C \] Đáp số: \( H = \frac{x \cdot 3^x}{\ln(3)} - \frac{3^x}{(\ln(3))^2} + C \)