Ai giúp mình câu này vớii Câu 4. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D', biết các đỉnh,$A(-\frac32;2;\frac52),~B(\frac52;5;\frac52),~A^\prime(\frac32;-2;\frac52).$ Toạ độ của đỉnh C' là $(x_0;y_0;z_0)$ với $z_00.$ Tính giá trị biểu,thức $\frac{-x_0-y_0-z_0}2.$

Question

Ai giúp mình câu này vớii Câu 4. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D', biết các đỉnh,$A(-\frac32;2;\frac52),~B(\frac52;5;\frac52),~A^\prime(\frac32;-2;\frac52).$ Toạ độ của đỉnh C' là $(x_0;y_0;z_0)$ với $z_0>0.$ Tính giá trị biểu,thức $\frac{-x_0-y_0-z_0}2.$

Accepted Answer

Để giải bài toán này, ta cần xác định tọa độ đỉnh $ C' $ của hình lập phương và sau đó tính giá trị của biểu thức $ \frac{-x_0 - y_0 - z_0}{2} $.

### Bước 1: Phân tích hình lập phương
Hình lập phương $ ABCD.A'B'C'D' $ có 8 đỉnh và các cạnh bằng nhau. Các đỉnh thuộc cùng một mặt phẳng vuông góc với nhau. Ta đã biết:
- Đỉnh $ A(-\frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}) $
- Đỉnh $ B(\frac{5}{2}, 5, \frac{5}{2}) $
- Đỉnh $ A'(\frac{3}{2}, -2, \frac{5}{2}) $

### Bước 2: Tìm độ dài cạnh hình lập phương
Độ dài cạnh của hình lập phương được xác định bằng khoảng cách giữa hai đỉnh kề nhau. Ta tính khoảng cách giữa $ A $ và $ B $:
$$
AB = \sqrt{\left(\frac{5}{2} - \left(-\frac{3}{2}\right)\right)^2 + (5 - 2)^2 + \left(\frac{5}{2} - \frac{5}{2}\right)^2}
= \sqrt{\left(4\right)^2 + (3)^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9} = 5.
$$
Do đó, cạnh hình lập phương có độ dài $ 5 $.

### Bước 3: Xác định tọa độ đỉnh $ C' $
Trong hình lập phương, các đỉnh $ A, B, C, D $ thuộc đáy, và các đỉnh $ A', B', C', D' $ thuộc mặt đáy song song phía trên. Từ tọa độ các đỉnh đã biết:
- $ A' $ là đỉnh trên của $ A $, tức là vector $ \overrightarrow{AA'} $ vuông góc với mặt đáy và có độ dài bằng cạnh hình lập phương.
$$
\overrightarrow{AA'} = \left(\frac{3}{2} - \left(-\frac{3}{2}\right), -2 - 2, \frac{5}{2} - \frac{5}{2}\right) = (3, -4, 0).
$$
Điều này xác nhận rằng vector $ \overrightarrow{AA'} = (3, -4, 0) $.

Đỉnh $ C' $ được xác định từ $ C $, mà $ C $ có thể được xác định qua vector $ \overrightarrow{AB} $:
$$
\overrightarrow{AB} = \left(\frac{5}{2} - \left(-\frac{3}{2}\right), 5 - 2, \frac{5}{2} - \frac{5}{2}\right) = (4, 3, 0).
$$
Do đó, tọa độ của $ C $ là:
$$
C = A + \overrightarrow{AB} = \left(-\frac{3}{2} + 4, 2 + 3, \frac{5}{2} + 0\right) = \left(\frac{5}{2}, 5, \frac{5}{2}\right).
$$
Tiếp theo, tọa độ của $ C' $ được xác định bằng cách cộng vector $ \overrightarrow{AA'} $ vào $ C $:
$$
C' = C + \overrightarrow{AA'} = \left(\frac{5}{2} + 3, 5 - 4, \frac{5}{2} + 0\right) = \left(\frac{11}{2}, 1, \frac{5}{2}\right).
$$

### Bước 4: Tính giá trị biểu thức
Với $ C'(x_0, y_0, z_0) = \left(\frac{11}{2}, 1, \frac{5}{2}\right) $, ta tính:
$$
\frac{-x_0 - y_0 - z_0}{2} = \frac{-\frac{11}{2} - 1 - \frac{5}{2}}{2} = \frac{-\frac{11}{2} - \frac{2}{2} - \frac{5}{2}}{2} = \frac{-\frac{18}{2}}{2} = \frac{-9}{2}.
$$

### Kết luận
Giá trị của biểu thức là:
$$
\boxed{-\frac{9}{2}}
$$