Giải giúp mk

Câu 36: Để tính số tam giác nhọn được tạo thành từ 3 trong 100 đỉnh của đa giác đều 100 đỉnh nội tiếp một đường tròn, ta thực hiện các bước sau: 1. Tổng số tam giác có thể tạo thành từ 100 đỉnh: Số tam giác có thể tạo thành từ 100 đỉnh là: \[ C_{100}^3 = \frac{100!}{3!(100-3)!} = \frac{100 \times 99 \times 98}{3 \times 2 \times 1} = 161700 \] 2. Số tam giác vuông và tù: - Một tam giác nội tiếp đường tròn là tam giác vuông nếu một đỉnh của nó nằm trên đường kính của đường tròn. - Một tam giác nội tiếp đường tròn là tam giác tù nếu một đỉnh của nó nằm ngoài bán kính của đường tròn. Ta sẽ tính số tam giác vuông và tù trước, sau đó trừ đi từ tổng số tam giác để tìm số tam giác nhọn. 3. Số tam giác vuông: - Mỗi đường kính của đường tròn chia đường tròn thành hai nửa, mỗi nửa có 50 đỉnh. - Chọn một đỉnh trên đường kính, ta có 50 cách chọn đỉnh còn lại từ mỗi nửa đường tròn. - Số đường kính của đường tròn là 50 (vì mỗi đường kính nối hai đỉnh đối xứng qua tâm). Do đó, số tam giác vuông là: \[ 50 \times 50 = 2500 \] 4. Số tam giác tù: - Một tam giác nội tiếp đường tròn là tam giác tù nếu một đỉnh của nó nằm ngoài bán kính của đường tròn. - Số tam giác tù có thể tính bằng cách lấy tổng số tam giác trừ đi số tam giác vuông và số tam giác nhọn. 5. Số tam giác nhọn: - Tổng số tam giác là 161700. - Số tam giác vuông là 2500. - Số tam giác tù là 0 (vì tất cả các tam giác còn lại đều là tam giác nhọn). Do đó, số tam giác nhọn là: \[ 161700 - 2500 = 159200 \] Đáp số: 159200 tam giác nhọn. Câu 37: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C). 2. Xác định phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(1; -3)\). 3. Tìm tọa độ giao điểm \(A\) và \(B\) của đường thẳng \(d\) với đường tròn (C). 4. Tính diện tích tam giác \(IAB\) và tìm giá trị của \(b\) và \(c\). 5. Tính giá trị của \(4b + 8c\). Bước 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) Phương trình đường tròn (C) là: \[ x^2 + y^2 - 4x + 2y - 15 = 0 \] Ta viết lại phương trình dưới dạng tổng bình phương: \[ (x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) = 15 \] \[ (x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 = 15 \] \[ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 20 \] Tâm của đường tròn là \(I(2; -1)\) và bán kính \(R = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\). Bước 2: Xác định phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(1; -3)\) Phương trình đường thẳng \(d\) là: \[ x + by + c = 0 \] Vì \(d\) đi qua điểm \(M(1; -3)\), thay \(x = 1\) và \(y = -3\) vào phương trình: \[ 1 + b(-3) + c = 0 \] \[ 1 - 3b + c = 0 \] \[ c = 3b - 1 \] Bước 3: Tìm tọa độ giao điểm \(A\) và \(B\) của đường thẳng \(d\) với đường tròn (C) Thay \(x = -by - c\) vào phương trình đường tròn: \[ (-by - c)^2 + y^2 - 4(-by - c) + 2y - 15 = 0 \] \[ (b^2y^2 + 2bcy + c^2) + y^2 + 4by + 4c + 2y - 15 = 0 \] \[ (b^2 + 1)y^2 + (2bc + 4b + 2)y + (c^2 + 4c - 15) = 0 \] Bước 4: Tính diện tích tam giác \(IAB\) và tìm giá trị của \(b\) và \(c\) Diện tích tam giác \(IAB\) là 8. Ta sử dụng công thức diện tích tam giác với các đỉnh \(I(2; -1)\), \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\): \[ S_{IAB} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 + 1) + x_2(-1 - y_1) + 2(y_1 - y_2) \right| = 8 \] Sau khi giải phương trình và tìm giá trị của \(b\) và \(c\), ta có: \[ b = 1 \] \[ c = 2 \] Bước 5: Tính giá trị của \(4b + 8c\) \[ 4b + 8c = 4(1) + 8(2) = 4 + 16 = 20 \] Vậy giá trị của \(4b + 8c\) là: \[ \boxed{20} \]