Nxjjskskksksj

1. Viết phương trình mặt cầu với đường kính AB: - Tìm trung điểm của đoạn thẳng AB, đó sẽ là tâm của mặt cầu. \[ I = \left( \frac{1+3}{2}, \frac{4+2}{2}, \frac{-3+(-1)}{2} \right) = (2, 3, -2) \] - Tính bán kính R bằng khoảng cách từ tâm đến một trong hai điểm A hoặc B. \[ R = IA = \sqrt{(2-1)^2 + (3-4)^2 + (-2+3)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \] - Phương trình mặt cầu: \[ (x-2)^2 + (y-3)^2 + (z+2)^2 = 3 \] 2. Viết phương trình mặt cầu với tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (p): - Bán kính R bằng khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (p). \[ R = \frac{|2(1) - 1(2) + 2(3) - 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|2 - 2 + 6 - 4|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{2}{3} \] - Phương trình mặt cầu: \[ (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \] 3. Viết phương trình mặt cầu với tâm trên đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q): - Gọi tâm của mặt cầu là \( I(a, b, c) \). Vì tâm nằm trên đường thẳng (d), ta có: \[ \frac{a-2}{-3} = \frac{b-1}{2} = \frac{c-1}{2} = t \] Suy ra: \[ a = 2 - 3t, \quad b = 1 + 2t, \quad c = 1 + 2t \] - Mặt cầu tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q), do đó khoảng cách từ tâm đến mỗi mặt phẳng bằng bán kính R. \[ R = \frac{|(2-3t) + 2(1+2t) - (1+2t) - 2|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 - 3t + 2 + 4t - 1 - 2t - 2|}{\sqrt{6}} = \frac{|1 - t|}{\sqrt{6}} \] \[ R = \frac{|(2-3t) + 2(1+2t) - (1+2t) - 4|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 - 3t + 2 + 4t - 1 - 2t - 4|}{\sqrt{6}} = \frac{|-1 - t|}{\sqrt{6}} \] - Do đó: \[ |1 - t| = |-1 - t| \] Điều này đúng khi \( t = 0 \). Vậy tâm của mặt cầu là \( I(2, 1, 1) \) và bán kính: \[ R = \frac{|1 - 0|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} \] - Phương trình mặt cầu: \[ (x-2)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^2 = \frac{1}{6} \] Đáp số: 1. \((x-2)^2 + (y-3)^2 + (z+2)^2 = 3\) 2. \((x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = \frac{4}{9}\) 3. \((x-2)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = \frac{1}{6}\)