Giúp mình…6

Câu 95: Để xác định mặt phẳng nào trong các lựa chọn đã cho đi qua gốc tọa độ (0, 0, 0), ta thay tọa độ của điểm này vào phương trình của mỗi mặt phẳng và kiểm tra xem phương trình đó có đúng hay không. A. \( x + 20 = 0 \) Thay \( x = 0 \): \[ 0 + 20 = 20 \neq 0 \] Vậy phương trình này không đúng, do đó mặt phẳng này không đi qua gốc tọa độ. B. \( x - 2024 = 0 \) Thay \( x = 0 \): \[ 0 - 2024 = -2024 \neq 0 \] Vậy phương trình này không đúng, do đó mặt phẳng này không đi qua gốc tọa độ. C. \( y + 2025 = 0 \) Thay \( y = 0 \): \[ 0 + 2025 = 2025 \neq 0 \] Vậy phương trình này không đúng, do đó mặt phẳng này không đi qua gốc tọa độ. D. \( 2x + 5y - 8z = 0 \) Thay \( x = 0 \), \( y = 0 \), \( z = 0 \): \[ 2(0) + 5(0) - 8(0) = 0 \] Vậy phương trình này đúng, do đó mặt phẳng này đi qua gốc tọa độ. Kết luận: Đáp án đúng là D. \( 2x + 5y - 8z = 0 \). Câu 96: Mặt phẳng (Oxy) là mặt phẳng chứa gốc tọa độ O và hai trục Ox và Oy. Các điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) sẽ có tọa độ z = 0. Ta kiểm tra từng điểm: - Điểm M(1;2;0): tọa độ z = 0, nên điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy). - Điểm N(3;2;-1): tọa độ z = -1, nên điểm N không thuộc mặt phẳng (Oxy). - Điểm P(1;0;-3): tọa độ z = -3, nên điểm P không thuộc mặt phẳng (Oxy). - Điểm Q(0;2;-5): tọa độ z = -5, nên điểm Q không thuộc mặt phẳng (Oxy). Vậy mặt phẳng (Oxy) đi qua điểm M(1;2;0). Đáp án đúng là: A. $M(1;2;0)$. Câu 97: Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $A(2;-1;3)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;3;-1)$ có dạng: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \] Trong đó, $(a, b, c)$ là các thành phần của vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ và $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của điểm $A$. Thay các giá trị vào phương trình trên ta có: \[ 2(x - 2) + 3(y + 1) - 1(z - 3) = 0 \] Mở ngoặc và thu gọn: \[ 2x - 4 + 3y + 3 - z + 3 = 0 \] \[ 2x + 3y - z + 2 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ là: \[ (\alpha): 2x + 3y - z + 2 = 0 \] Đáp án đúng là: B. $(\alpha): 2x + 3y - z + 2 = 0$. Câu 98: Để xác định mặt phẳng nào vuông góc với mặt phẳng $(P):~2x+y-2z+4=0$, ta cần kiểm tra xem vector pháp tuyến của mỗi mặt phẳng có vuông góc với vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ hay không. Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n}_P = (2, 1, -2)$. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng mặt phẳng: A. $~2x+y-2z+5=0.$ Vector pháp tuyến của mặt phẳng này là $\vec{n}_A = (2, 1, -2)$. Ta thấy rằng $\vec{n}_A$ trùng với $\vec{n}_P$, do đó mặt phẳng này song song với $(P)$, không phải vuông góc. B. $~x+2y+2z-5=0.$ Vector pháp tuyến của mặt phẳng này là $\vec{n}_B = (1, 2, 2)$. Kiểm tra tính vuông góc: \[ \vec{n}_P \cdot \vec{n}_B = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 2 = 2 + 2 - 4 = 0 \] Vì tích vô hướng bằng 0, nên hai vector pháp tuyến vuông góc với nhau, tức là mặt phẳng này vuông góc với $(P)$. C. $~x+3y-z+1=0.$ Vector pháp tuyến của mặt phẳng này là $\vec{n}_C = (1, 3, -1)$. Kiểm tra tính vuông góc: \[ \vec{n}_P \cdot \vec{n}_C = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + (-2) \cdot (-1) = 2 + 3 + 2 = 7 \neq 0 \] Vì tích vô hướng không bằng 0, nên hai vector pháp tuyến không vuông góc với nhau, tức là mặt phẳng này không vuông góc với $(P)$. D. $~x+y+z-6=0.$ Vector pháp tuyến của mặt phẳng này là $\vec{n}_D = (1, 1, 1)$. Kiểm tra tính vuông góc: \[ \vec{n}_P \cdot \vec{n}_D = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 1 = 2 + 1 - 2 = 1 \neq 0 \] Vì tích vô hướng không bằng 0, nên hai vector pháp tuyến không vuông góc với nhau, tức là mặt phẳng này không vuông góc với $(P)$. Vậy mặt phẳng vuông góc với $(P)$ là: B. $~x+2y+2z-5=0.$ Câu 99: Để tính khoảng cách từ điểm \( M(1;2;-3) \) đến mặt phẳng \( (P): x + 2y + 2z - 10 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Công thức khoảng cách \( d \) từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong đó: - \( (x_0, y_0, z_0) = (1, 2, -3) \) - \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = 2 \), \( d = -10 \) Thay các giá trị vào công thức: \[ d = \frac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) - 10|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} \] \[ d = \frac{|1 + 4 - 6 - 10|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} \] \[ d = \frac{|-11|}{\sqrt{9}} \] \[ d = \frac{11}{3} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M(1;2;-3) \) đến mặt phẳng \( (P): x + 2y + 2z - 10 = 0 \) là \( \frac{11}{3} \). Đáp án đúng là: D. \( \frac{11}{3} \). Câu 100: Để xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P):~x+3y-5z+2=0$, ta cần tìm các vectơ song song với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow{n} = (1, 3, -5)$. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn để xem liệu chúng có phải là bội của vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1, 3, -5)$ hay không. A. $\overrightarrow{n} = (-1, -3, 5)$: - Ta thấy rằng $(-1, -3, 5) = -1 \times (1, 3, -5)$, do đó $\overrightarrow{n} = (-1, -3, 5)$ là bội của $(1, 3, -5)$. B. $\overrightarrow{n} = (2, 6, -10)$: - Ta thấy rằng $(2, 6, -10) = 2 \times (1, 3, -5)$, do đó $\overrightarrow{n} = (2, 6, -10)$ là bội của $(1, 3, -5)$. C. $\overrightarrow{n} = (-2, -6, -10)$: - Ta thấy rằng $(-2, -6, -10) \neq k \times (1, 3, -5)$ với bất kỳ hằng số $k$ nào, vì $-10$ không phải là bội của $-5$. Do đó, $\overrightarrow{n} = (-2, -6, -10)$ không phải là bội của $(1, 3, -5)$. D. $\overrightarrow{n} = (-3, -9, 15)$: - Ta thấy rằng $(-3, -9, 15) = -3 \times (1, 3, -5)$, do đó $\overrightarrow{n} = (-3, -9, 15)$ là bội của $(1, 3, -5)$. Từ đó, ta kết luận rằng vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ không phải là $\overrightarrow{n} = (-2, -6, -10)$. Đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{n} = (-2, -6, -10)$. Câu 101: Để tìm véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), ta cần tìm véctơ vuông góc với cả hai véctơ chỉ phương của (P). Ta sẽ tính tích có hướng của hai véctơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ để tìm véctơ pháp tuyến. Bước 1: Tính tích có hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{a} = (-1, -2, -2) \] \[ \overrightarrow{b} = (-1, 0, -1) \] Tích có hướng $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ được tính như sau: \[ \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & -2 & -2 \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)(-1) - (-2)(0)) - \mathbf{j}((-1)(-1) - (-2)(-1)) + \mathbf{k}((-1)(0) - (-2)(-1)) \] \[ = \mathbf{i}(2 - 0) - \mathbf{j}(1 - 2) + \mathbf{k}(0 - 2) \] \[ = 2\mathbf{i} + 1\mathbf{j} - 2\mathbf{k} \] \[ = (2, 1, -2) \] Bước 2: So sánh kết quả với các lựa chọn đã cho: A. $\overrightarrow{n} = (2, 1, 2)$ B. $\overrightarrow{n} = (2, -1, -2)$ C. $\overrightarrow{n} = (2, 1, -2)$ D. $\overrightarrow{n} = (-2, 1, -2)$ Ta thấy rằng véctơ $(2, 1, -2)$ chính là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Vậy đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{n} = (2, 1, -2)$. Câu 102: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(1;-1;2)$ và có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(4;2;-6)$ có dạng: \[4(x - 1) + 2(y + 1) - 6(z - 2) = 0\] Ta thực hiện phép nhân và giản ước: \[4x - 4 + 2y + 2 - 6z + 12 = 0\] \[4x + 2y - 6z + 10 = 0\] Chia cả phương trình cho 2 để đơn giản hóa: \[2x + y - 3z + 5 = 0\] Vậy phương trình mặt phẳng là: \[2x + y - 3z + 5 = 0\] Đáp án đúng là: B. $2x + y - 3z + 5 = 0$. Câu 103: Để viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng AB, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng (P): - Vector AB = B - A = (1 - 0, 2 - 1, 3 - 1) = (1, 1, 2). - Vì mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng AB, nên vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) chính là vector AB. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(0, 1, 1) với vector pháp tuyến (1, 1, 2): - Phương trình mặt phẳng có dạng: \(a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0\), trong đó (a, b, c) là vector pháp tuyến và (x_0, y_0, z_0) là tọa độ của điểm A. - Thay vào ta có: \(1(x - 0) + 1(y - 1) + 2(z - 1) = 0\). - Rút gọn phương trình: \(x + y - 1 + 2z - 2 = 0\). - Kết quả cuối cùng: \(x + y + 2z - 3 = 0\). Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \[ (P): x + y + 2z - 3 = 0. \] Đáp án đúng là: A. \( (P): x + y + 2z - 3 = 0. \) Câu 104: Để lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A và B và vuông góc với mặt phẳng (P), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) có phương trình: \( x - 3y + 2z - 5 = 0 \) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \( \vec{n}_P = (1, -3, 2) \) 2. Tìm vectơ AB: Điểm A(2, 4, 1) và điểm B(-1, 1, 3) Vectơ AB là: \[ \vec{AB} = (-1 - 2, 1 - 4, 3 - 1) = (-3, -3, 2) \] 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q): Mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A và B và vuông góc với mặt phẳng (P). Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) sẽ vuông góc với cả vectơ AB và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Ta tính tích có hướng của hai vectơ này để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q): \[ \vec{n}_Q = \vec{AB} \times \vec{n}_P \] Tính tích có hướng: \[ \vec{n}_Q = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & -3 & 2 \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}((-3)(2) - (2)(-3)) - \vec{j}((-3)(2) - (2)(1)) + \vec{k}((-3)(-3) - (-3)(1)) \] \[ = \vec{i}( -6 + 6 ) - \vec{j}( -6 - 2 ) + \vec{k}( 9 + 3 ) \] \[ = \vec{i}(0) - \vec{j}(-8) + \vec{k}(12) \] \[ = (0, 8, 12) \] Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là: \( \vec{n}_Q = (0, 8, 12) \) 4. Lập phương trình mặt phẳng (Q): Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(2, 4, 1) và có vectơ pháp tuyến \( \vec{n}_Q = (0, 8, 12) \). Phương trình mặt phẳng (Q) là: \[ 0(x - 2) + 8(y - 4) + 12(z - 1) = 0 \] \[ 8(y - 4) + 12(z - 1) = 0 \] \[ 8y - 32 + 12z - 12 = 0 \] \[ 8y + 12z - 44 = 0 \] Chia cả phương trình cho 4 để đơn giản hóa: \[ 2y + 3z - 11 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: \( 2y + 3z - 11 = 0 \) Đáp án đúng là: A. \( 2y + 3z - 11 = 0 \) Câu 105: Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$: Mặt phẳng $(\alpha): 3x - 2y + 2z + 7 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1 = (3, -2, 2)$. Mặt phẳng $(\beta): 5x - 4y + 3z + 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_2 = (5, -4, 3)$. 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm: Mặt phẳng cần tìm sẽ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$. Ta tính tích vector như sau: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -2 & 2 \\ 5 & -4 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}((-2)(3) - (2)(-4)) - \vec{j}((3)(3) - (2)(5)) + \vec{k}((3)(-4) - (-2)(5)) \] \[ = \vec{i}(-6 + 8) - \vec{j}(9 - 10) + \vec{k}(-12 + 10) = \vec{i}(2) - \vec{j}(-1) + \vec{k}(-2) = (2, 1, -2) \] 3. Viết phương trình mặt phẳng: Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O (0, 0, 0) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2, 1, -2)$ có phương trình: \[ 2(x - 0) + 1(y - 0) - 2(z - 0) = 0 \] \[ 2x + y - 2z = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả $(\alpha)$ và $(\beta)$ là: \[ 2x + y - 2z = 0 \] Đáp án đúng là: B. $2x + y - 2z = 0$. Câu 106: Để tìm phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua ba điểm \( A(3, -2, -2) \), \( B(3, 2, 0) \), và \( C(0, 2, 1) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm hai vectơ trong mặt phẳng: - Vectơ \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (3 - 3, 2 + 2, 0 + 2) = (0, 4, 2) \] - Vectơ \( \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (0 - 3, 2 + 2, 1 + 2) = (-3, 4, 3) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC): - Vectơ pháp tuyến \( \vec{n} \) là tích vector của \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \): \[ \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \] Ta tính: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 4 & 2 \\ -3 & 4 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(4 \cdot 3 - 2 \cdot 4) - \mathbf{j}(0 \cdot 3 - 2 \cdot (-3)) + \mathbf{k}(0 \cdot 4 - 4 \cdot (-3)) = \mathbf{i}(12 - 8) - \mathbf{j}(0 + 6) + \mathbf{k}(0 + 12) = 4\mathbf{i} - 6\mathbf{j} + 12\mathbf{k} \] Vậy \( \vec{n} = (4, -6, 12) \). 3. Viết phương trình mặt phẳng: - Phương trình mặt phẳng có dạng \( ax + by + cz + d = 0 \), trong đó \( (a, b, c) \) là vectơ pháp tuyến và \( d \) là hằng số. - Thay \( \vec{n} = (4, -6, 12) \) vào phương trình: \[ 4x - 6y + 12z + d = 0 \] - Để tìm \( d \), thay tọa độ của điểm \( A(3, -2, -2) \) vào phương trình: \[ 4(3) - 6(-2) + 12(-2) + d = 0 \] \[ 12 + 12 - 24 + d = 0 \] \[ 0 + d = 0 \] \[ d = 0 \] 4. Phương trình cuối cùng của mặt phẳng (ABC): \[ 4x - 6y + 12z = 0 \] Đáp số: Phương trình mặt phẳng (ABC) là \( 4x - 6y + 12z = 0 \).