trong mặt phẳng tọa độ oxy cho tam giác ABC có A(2;5) , B(-1;3) , C (4;1). Điểm D có tung độ dương thuộc đường thẳng AC sao cho diện tích BDC = 1/4 diện tích ABC . Tinh tọa độ D

Question

trong mặt phẳng tọa độ oxy cho tam giác ABC có  A(2;5) , B(-1;3) , C (4;1). Điểm D có tung độ dương thuộc đường thẳng AC sao cho diện tích BDC = 1/4 diện tích ABC . Tinh tọa độ D

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tính diện tích tam giác ABC:
   - Sử dụng công thức tính diện tích tam giác từ tọa độ các đỉnh:
     $$
     S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
     $$
     Thay tọa độ của A(2;5), B(-1;3), C(4;1):
     $$
     S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| 2(3 - 1) + (-1)(1 - 5) + 4(5 - 3) \right|
     $$
     $$
     S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| 2 \cdot 2 + (-1) \cdot (-4) + 4 \cdot 2 \right|
     $$
     $$
     S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| 4 + 4 + 8 \right|
     $$
     $$
     S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 16 = 8
     $$

2. Diện tích tam giác BDC:
   - Theo đề bài, diện tích tam giác BDC bằng $\frac{1}{4}$ diện tích tam giác ABC:
     $$
     S_{BDC} = \frac{1}{4} \times 8 = 2
     $$

3. Tìm tọa độ điểm D trên đường thẳng AC:
   - Đường thẳng AC đi qua hai điểm A(2;5) và C(4;1). Ta viết phương trình đường thẳng AC:
     $$
     y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)
     $$
     Thay tọa độ của A và C:
     $$
     y - 5 = \frac{1 - 5}{4 - 2}(x - 2)
     $$
     $$
     y - 5 = \frac{-4}{2}(x - 2)
     $$
     $$
     y - 5 = -2(x - 2)
     $$
     $$
     y - 5 = -2x + 4
     $$
     $$
     y = -2x + 9
     $$
   - Gọi tọa độ của điểm D là $(x_D, y_D)$, với $y_D > 0$. Vì D nằm trên đường thẳng AC, ta có:
     $$
     y_D = -2x_D + 9
     $$

4. Tính diện tích tam giác BDC:
   - Sử dụng công thức diện tích tam giác từ tọa độ các đỉnh:
     $$
     S_{BDC} = \frac{1}{2} \left| x_B(y_C - y_D) + x_C(y_D - y_B) + x_D(y_B - y_C) \right|
     $$
     Thay tọa độ của B(-1;3), C(4;1), và D($x_D$, $-2x_D + 9$):
     $$
     2 = \frac{1}{2} \left| -1(1 - (-2x_D + 9)) + 4((-2x_D + 9) - 3) + x_D(3 - 1) \right|
     $$
     $$
     2 = \frac{1}{2} \left| -1(1 + 2x_D - 9) + 4(-2x_D + 6) + x_D(2) \right|
     $$
     $$
     2 = \frac{1}{2} \left| -1(-8 + 2x_D) + 4(-2x_D + 6) + 2x_D \right|
     $$
     $$
     2 = \frac{1}{2} \left| 8 - 2x_D - 8x_D + 24 + 2x_D \right|
     $$
     $$
     2 = \frac{1}{2} \left| 32 - 8x_D \right|
     $$
     $$
     4 = \left| 32 - 8x_D \right|
     $$
     Ta có hai trường hợp:
     $$
     32 - 8x_D = 4 \quad \text{hoặc} \quad 32 - 8x_D = -4
     $$
     Giải phương trình:
     $$
     32 - 8x_D = 4 \implies 8x_D = 28 \implies x_D = \frac{28}{8} = 3.5
     $$
     $$
     32 - 8x_D = -4 \implies 8x_D = 36 \implies x_D = \frac{36}{8} = 4.5
     $$

5. Kiểm tra điều kiện tọa độ D:
   - Với $x_D = 3.5$, ta có:
     $$
     y_D = -2(3.5) + 9 = -7 + 9 = 2
     $$
     Điểm D(3.5;2) có tung độ dương.
   - Với $x_D = 4.5$, ta có:
     $$
     y_D = -2(4.5) + 9 = -9 + 9 = 0
     $$
     Điểm D(4.5;0) có tung độ bằng 0, không thỏa mãn điều kiện.

Vậy tọa độ điểm D là:
$$
D(3.5; 2)
$$